Se la lagrangiana di un sistema non contiene una certa coordinata q_j, allora la coordinata è detta ciclica o ignorabile. L'equazione di Lagrange per una coordinata ciclica si scrive :

(10.1)

Se si definisce il momento associato ad una coordinata come :

(10.2)

allora dalla (10.1) si ottiene :

(10.3)

cioè, il momento associato ad una coordinata ciclica si conserva.

Vogliamo ora verificare che le leggi di conservazione stabilite nel § 2. sono contenute nella regola generale delle coordinate cicliche.

Consideriamo una coordinata q_j tale per cui dq_j rappresenta una traslazione del sistema in una certa direzione (Coordinata di traslazione).

L'energia cinetica T non dipende da q_j poiché le velocità non sono influenzate da una traslazione. L'equazione di Lagrange per la q_j si scrive :

(10.4)

La derivata del vettore posizione rispetto a q_j si scrive :

(10.5)

Il momento associato a q_j, se le forze attive sono derivabili da un potenziale ordinario, sarà :

(10.6)

e rappresenta la componente della quantità di moto del sistema nella direzione della traslazione.

Mentre la componente delle forze attive secondo q_j

(10.7)

rappresenta la componente delle forze attive nella direzione della traslazione.

Se la q_j è ciclica, il suo momento coniugato che rappresenta la componente della quantità di moto del sistema nella direzione si conserva e dalla (10.4) si vede che la componente delle forze attive nella stessa direzione è nulla (Legge di conservazione della quantità di moto).

Consideriamo ora una coordinata q_j tale per cui dq_j rappresenta una rotazione del sistema nella direzione (Coordinata di rotazione).

La derivata del vettore posizione rispetto a q_j sarà :

(10.8)

Il momento coniugato a q_j :

(10.9)

rappresenta la componente della quantità di moto angolare del sistema nella direzione della rotazione.

La componente delle forze attive secondo q_j si scrive :

(10.10)

e rappresenta la componente del momento delle forze attive nella direzione della rotazione.

Se la q_j è ciclica, il momento coniugato che rappresenta la componente della quantità di moto angolare si conserva e la componente del momento delle forze attive rispetto alla direzione della rotazione è nulla (Legge di conservazione della quantità di moto angolare).

Supponiamo infine che la Lagrangiana non dipenda esplicitamente dal tempo. La derivata totale rispetto al tempo di L è :

(10.11)

Dalle eq. di Lagrange si ha :

(10.12)

per cui :

(10.13)

cioè :

(10.14)

che indica che la grandezza tra parentesi è una costante di moto. Questa grandezza si indica con H ed è detta Hamiltoniana del sistema. Quindi, se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, l'Hamiltoniana del sistema si conserva.

Se supponiamo che l'energia potenziale delle forze attive che agiscono sul sistema sia di tipo ordinario e che i vincoli a cui è sottoposto il sistema siano scleronomi, allora si può scrivere :

(10.15)

e per il teorema di Eulero sulle funzioni omogenee :

(10.16)

e l'Hamiltoniana diviene :

(10.17)

Se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, le forze attive sono derivabili da un potenziale ordinario ed i vincoli sono scleronomi, la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale è una costante (legge di conservazione dell'energia del sistema).

Torna al Sommario