Nella meccanica lagrangiana esiste il seguente teorema fondamentale : per un sistema con n gradi di libertà esistono esattamente 2n costanti di moto indipendenti.

Per dimostrare il teorema si consideri l’integrale generale delle equazioni di moto del sistema :

(11.1)

Si consideri una funzione qualunque di che non dipenda esplicitamente dalle c_i e si inseriscano le (11.1) e le loro derivate in funzione delle c_i :

(11.2)

La funzione non può non dipendere dalle c_i poiché in tal caso la (11.2) rappresenterebbe una relazione tra valida per ogni moto possibile.

Per ogni si può quindi scrivere :

(11.3)

Le (11.3) possono considerarsi un sistema di 2n equazioni nelle 2n incognite di tipo non omogeneo in quanto non tutti gli A_i sono nulli. Perché si abbia una sola soluzione è necessario che il determinante dei coefficienti sia diverso da zero, cioè :

(11.4)

Questo determinante è anche lo jacobiano della trasformazione :

(11.5)

che fa passare dalle alle c_i.

Se il determinante non è nullo, allora la trasformazione è invertibile e si potrà scrivere :

(11.6)

Queste sono quindi due 2n costanti che dipendono da e sono indipendenti.

La soluzione del problema del moto si riduce quindi alla determinazione di questo sistema di 2n costanti indipendenti.

Valutando le (11.6) all’istante iniziale, si ottengono 2n relazioni tra le c_i ed i valori iniziali di :

(11.7)

Sostituendo queste relazioni nelle prime n delle (11.5) si ottengono le equazioni del moto.

Torna al Sommario