§ 12. - TRASFORMAZIONI D’INVARIANZA

 

Un modo per risolvere il problema del calcolo del movimento di un sistema è quindi quello di determinare tutte le possibili costanti di moto.

Un procedimento utilizzabile è basato sulla ricerca della relazione tra le costanti di moto del sistema e le trasformazioni d’invarianza per la Lagrangiana del sistema.

Se si considera una trasformazione di coordinate :

(12.1)   

la Lagrangiana nel nuovo sistema di coordinate si scriverà :

(12.2)   

Come visto nel §8 le equazioni di Lagrange che si ricavano dalle due Lagrangiane hanno la stessa forma. Se si considerano pero’ le equazioni di moto risultanti, esse sono generalmente diverse per i due sistemi di coordinate.

Ci si puo’ chiedere quale condizione deve soddisfare la trasformazione di coordinate affinche’ anche le equazioni di moto risultino identiche.

La condizione piu’ restrittiva e’ che le due lagrangiane siano identiche :

(12.3)   

In questo caso e’ ovvio che equazioni di Lagrange ed equazioni di moto risultano identiche nei due sistemi di coordinate.

Dall’esame delle equazioni di Lagrange, si puo’ dedurre che in realta’ si possono avere equazioni di moto uguali anche se le due Lagrangiane differiscono per la derivata totale rispetto al tempo di una funzione arbitraria delle coordinate e del parametro temporale.

 Cioe’ :

(12.4)   

Infatti :

 

Le trasformazioni di coordinate che soddisfano a questa condizione per la Lagrangiana si dicono trasformazioni di invarianza.

Si consideri una famiglia di trasformazioni dipendenti da una serie di parametri(1 ≤ p ≤ P)  tale per cui  la trasformazione identica corrisponda a = 0 :

(12.5)   

Se si considerano variazioni infinitesime dei parametri si ottiene una famiglia di trasformazioni infinitesime :

(12.6)   

Se la trasformazione e’ d’invarianza, analogamente la trasformazione infinitesima e’ detta  trasformazione di invarianza infinitesima.

In questo caso la relazione tra le due Lagrangiane si scrive :

(12.7)   

Sviluppando in serie e fermandosi al primo ordine :

             

da cui, imponendo che le due Lagrangiane siano uguali. si ottiene :

cioe’

 

da cui

Questo significa che :

 

Ad ogni trasformazione d’invarianza infinitesima sono dunque associate costanti del moto. Si noti, infatti, che poiché i parametri che definiscono la trasformazione sono indipendenti, i coefficienti dei termini in  sono singolarmente delle costanti del moto.

 

Nel §8 si e’ visto che anche le forze elettromagnetiche possono venir descritte con il formalismo Lagrangiano attraverso l’introduzione del potenziale generalizzato :

(12.8)   

Si definisce trasformazione di gauge la seguente :

(12.9)   

Si può vedere facilmente che anche questa trasformazione appartiene alla classe delle trasformazioni d’invarianza. Infatti :