Come applicazione del formalismo lagrangiano, si consideri il problema del moto di due particelle libere, isolate e soggette ad una forza d’interazione di tipo centrale.Il sistema appartiene alla sottoclasse dei sistemi lagrangiani in quanto non vi sono vincoli e l’unica forza attiva è di tipo conservativo.

Un sistema di questo tipo ha 6 gradi di libertà. La determinazione della sua configurazione necessità pertanto di 6 coordinate lagrangiane.

Se si osserva che le due particelle sono isolate e quindi il centro di massa del sistema si muove di moto inerziale (Legge di conservazione della quantità di moto di un sistema), allora assumendo come origine del sistema di riferimento il centro di massa, il sistema ha soltanto 3 gradi di libertà.

Si possono così assumere come coordinate lagrangiane le tre componenti del vettore differenza tra i vettori posizione delle due particelle. I vettori posizione delle due particelle nel sistema di riferimento avente origine nel centro di massa si possono scrivere :

(13.1)

e l’energia cinetica :

(13.2)

La lagrangiana del sistema si scrive :

(13.3)

dove m è detta massa ridotta del sistema.

Poiché l’interazione tra le due particelle è di tipo centrale, la quantità di moto angolare del sistema si conserva ed il moto avviene in un piano. Si può pertanto riscrivere la lagrangiana prendendo un sistema di riferimento polare piano avente origine in una delle due particelle :

(13.4)

Si può osservare che la coordinata q è ciclica e quindi il suo momento coniugato si conserva :

(13.5)

e quindi :

(13.6)

Un secondo integrale primo si può ottenere dalla conservazione dell’energia :

(13.7)

Quest’espressione rappresenta anche la legge di conservazione dell’energia per una particella di massa m sottoposta ad una forza conservativa derivabile da un’energia potenziale fittizia definibile come :

(13.8)

Se si assume ad esempio come energia potenziale la seguente espressione :

(13.9)

l’energia potenziale fittizia in funzione di r è rappresentata nelle figura seguente :

Si possono fare le seguenti osservazioni :

• Se l’energia del sistema è positiva ed è ad esempio uguale a E₁, dovrà essere sempre r >r ₁ poiché in caso contrario V’>E₁ e l’energia cinetica diverrebbe negativa. Non esiste invece alcun limite superiore e pertanto il moto non è confinato
• se l’energia del sistema è negativa ed è ad esempio uguale a E₂, allora dovrà essere r ₂<r <r ₃. Nei punti r =r ₂ e r =r ₃ la velocità radiale si annulla ed il moto è sicuramente confinato
• se l’energia del sistema è proprio uguale a E₃, allora il moto avviene con r =r ₄, è confinato e la traiettoria è una circonferenza.

Se la forza d’interazione è quella gravitazionale, il calcolo della traiettoria del moto è noto come problema di Keplero. I’energia potenziale dell’interazione è proprio quella descritta dalla (13.9) e dalla (13.6) si ha :

(13.10)

e sostituendo quest’espressione nella (13.7) ed integrando si ottiene :

(13.11)

che fornisce la traiettoria del moto considerato.

L’integrale si può effettuare analiticamente con la sostituzione u=1/r :

(13.12)

Risolvendo rispetto a r si ottiene :

(13.13)

La (13.13) è l’equazione in coordinate polari di una conica avente un fuoco nell’origine.

L’eccentricità della conica è :

(13.14)

Il tipo di conica dipende dal valore dell’eccentricità :

• e > 1 (E > 0) : iperbole
• e = 1 (E = 0) : parabola
• e < 1 (E < 0) : ellissi
• e = 0 (E = -m k²/2l²) : circonferenza

Si può vedere come questi risultati siano in accordo con quelli ottenuti utilizzando l’energia potenziale fittizia. Nel caso Kepleriano le traiettorie risultano sempre delle coniche (1^a legge di Keplero) e quindi in caso di moto confinato le traiettorie risultano chiuse.

Se la traiettoria è un’ellissi, il semiasse maggiore risulta :

(13.15)

cioè dipende solo dall’energia totale del sistema ed è inversamente proporzionale al suo modulo (2^a legge di Keplero). Questa proprietà è sfruttata nella teoria dell’atomo di Bohr.

Per ottenere il tempo impiegato a percorrere la traiettoria, si può integrare l’espressione della velocità areolare, tenendo conto della (13.6) :

(13.16)

dove b è il semiasse minore dell’ellissi, dato dall’espressione :

(13.17)

Sostituendo nella (13.16) si ottiene il periodo del moto :

(13.18)

cioè il quadrato del periodo è proporzionale al cubo dell’asse maggiore dell’ellissi (3^a legge di Keplero).

Si è visto che in corrispondenza del minimo dell’energia potenziale fittizia la traiettoria e una circonferenza. Per verificare la stabilità della traiettoria, si scriva l’equazione di Lagrange per la r :

(13.19)

ponendo :

(13.20)

ed utilizzando l’integrale primo (13.6) si ottiene l’equazione :

(13.21)

Se si suppone che esista una traiettoria circolare di raggio r =R, si introduca la perturbazione r =R+r, dove r è una quantità infinitesima rispetto ad R. Sviluppando in serie ed arrestandosi al primo ordine si ottiene :

(13.22)

Ma se la traiettoria r =R è circolare, allora :

(13.23)

e la (13.22) diviene :

(13.24)

La condizione di stabilità della traiettoria è :

(13.25)

Per esempio se la forza è del tipo F=-k/r ⁿ, la condizione di stabilità si traduce nella condizione n<3.

Se la traiettoria è stabile, la frequenza delle oscillazioni è :

(13.26)

Esempio 1 : traiettoria circolare stabile su un piano

Esempio 2 : traiettoria circolare stabile su un cono