Oscillatore armonico tridimensionale

 

Si consideri una particella di massa m libera di muoversi nello spazio sotto l’azione della forza centrale :

 

 

Poiche’ la forza e’ centrale, il moto avviene in un piano. Preso un sistema di riferimento polare avente origine nel centro di forza, la Lagrangiana si scrive :

 

 

Esistono i due integrali primi :

 

 

Combinando le due espressioni si ottiene :

 

 

Si puo’ definire un’energia potenziale efficace :

 

 

Nella figura seguente e’ mostrato l’andamento di tale funzione per i seguenti valori dei parametri :

 

m=1

k=70

l=0.1

 

 

 

Il minimo si ha per :

 

 

Ed il valore minimo dell’energia e’ :

 

 

Per valori dell’energia total inferiori non si puo’ avere alcun moto. Per valori superiori il moto e’ confinato tra i due valori di ρ che si ottengono dall’intersezione della curva con la retta corrispondente al valore dell’energia totale.

Il tipo di orbite possibili e’ mostrato nella figura seguente.