Un sistema rigido può essere definito come un sistema di particelle soggetto ad un vincolo olonomo che impone che le mutue distanze tra le particelle rimangano costanti durante gli spostamenti del sistema.

Le equazioni che traducono il vincolo di rigidità si possono pertanto scrivere :

(14.1)

Queste equazioni non sono però tutte indipendenti in quanto, per fissare la posizione di una particella, non è necessario specificarne la sua distanza da tutte le altre particelle ma è sufficiente specificarne la distanza da tre particelle non allineate. Pertanto, una volta assegnata la posizione di tre particelle non allineate, il vincolo imposto al sistema permette di determinare la posizione di tutte le rimanenti particelle. Poiché a loro volta le tre particelle non allineate devono conservare negli spostamenti una distanza costante, il numero dei gradi di libertà di un sistema rigido è :

9 (posizione delle tre particelle) - 3(eq. 14.1 applicate alle tre particelle) = 6

Per individuare la configurazione di un sistema rigido sono quindi necessarie 6 coordinate lagrangiane.

E' sempre possibile determinare la configurazione di un sistema rigido specificando la posizione di una terna cartesiana solidale con il sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Tre delle coordinate lagrangiane saranno necessarie per individuare la posizione dell'origine della terna e le altre tre per individuare l'orientamento della terna stessa rispetto ad una terna avente la stessa origine e parallela alla terna inerziale.

E' noto che l'orientamento di una terna rispetto ad un'altra può essere sempre individuato dai nove coseni direttori a_ij degli assi che definiscono una matrice di trasformazione ortogonale. Questi nove coseni direttori non sono però indipendenti poiché soddisfano alle sei condizioni di ortogonalità

(14.2)

La cinematica dei sistemi rigidi è interamente ricavabile dai teoremi di Eulero e di Chasles.

Il teorema di Eulero afferma : lo spostamento più generale di un sistema rigido con un punto in quiete rispetto ad una terna inerziale è uno spostamento rotatorio. esiste cioè una retta passante per il punto in quiete rispetto alla terna inerziale i cui punti non subiscono alcuno spostamento. Questa retta è chiamata asse di rotazione.

Se il sistema di riferimento inerziale ha origine nel punto in quiete del sistema rigido e la terna solidale è inizialmente coincidente con quella inerziale, il teorema asserisce che ad ogni istante di tempo la posizione della terna solidale può venir sempre ottenuta con una singola rotazione della terna stessa rispetto alla sua posizione iniziale.

Se si considera un vettore giacente sull'asse di rotazione, tale vettore dovrà avere le stesse componenti nelle due terne. Indicando con A la matrice ortogonale che permette di passare da una terna all'altra, si avrà :

(14.3)

Il teorema di Eulero può allora venir riformulato : la matrice ortogonale che descrive lo spostamento di un sistema rigido con un punto in quiete rispetto ad un sistema inerziale ha sempre l'autovalore +1.

Per dimostrare il teorema, è necessario dimostrare prima quattro lemmi :

• tutti gli autovalori della matrice ortogonale che descrive lo spostamento hanno modulo unitario.

Poiché la matrice è ortogonale, il modulo del vettore R deve rimanere immutato :

(14.4)

dove R* è il complesso coniugato di R.

Se R è un autovettore, allora :

(14.5)

e quindi :

(14.6)

• una matrice ortogonale 3x3 ha almeno un autovalore reale

Poiché l'equazione caratteristica è di terzo grado, si ha sempre almeno una radice reale (le altre due sono anch'esse reali o complesse coniugate)

• il prodotto degli autovalori può essere +1 o -1

Si può sempre scrivere :

(14.7)

Ma il determinante di una matrice ortogonale può solo avere il valore +1 o -1 e pertanto

(14.8)

• se la matrice ortogonale rappresenta uno spostamento di un sistema rigido, allora il prodotto degli autovalori può essere solo +1

Si consideri la matrice

(14.9)

Questa matrice è detta inversione poiché inverte il verso di tutti gli assi di una terna a cui è applicata. Trasforma quindi una terna destrorsa in una terna sinistrorsa. Un cambiamento di questo tipo non può mai venir realizzato in uno spostamento di un sistema rigido. Poiché ogni matrice a determinante negativo può essere sempre rappresentata come il prodotto di una matrice a determinante positivo per S, il lemma è dimostrato.

Con questi lemmi la dimostrazione del teorema di Eulero è piuttosto semplice. Considerati infatti gli autovalori della matrice reale A con determinante +1, tutte tre gli autovalori non possono essere reali e diversi poiché devono essere uguali a +1 o -1. Se tutti gli autovalori sono reali e due di loro sono uguali, allora l'autovalore singolo deve essere +1, altrimenti il determinante non sarebbe +1. Eccetto il caso banale in cui tutti gli autovalori sono uguali a +1, l'altra possibilità è che uno sia reale e due complessi coniugati. Ma il prodotto di questi ultimi è +1 e pertanto l’autovalore reale deve essere +1 affinché il loro prodotto sia corretto. Si può così concludere che in ogni trasformazione non banale, vi è sempre un solo autovalore +1. Quest'ultima affermazione dimostra così il teorema di Eulero.

Lo spostamento rotatorio del sistema è completamente determinato dalla conoscenza dell'asse di rotazione e dall'angolo di rotazione. Quest'ultimo è definito come l'angolo di cui si deve ruotare un semipiano passante per l'asse di rotazione per contenere le posizioni iniziale e finale di un qualunque punto non appartenente all'asse di rotazione stesso.

I coseni direttori dell'asse di istantanea rotazione si possono calcolare risolvendo l'equazione (14.3).

Per determinare l'angolo di rotazione è sufficiente considerare una terna solidale il cui asse z sia diretto come l'asse di rotazione. In questo caso la matrice che descrive la rotazione sarà :

(14.10)

avendo indicato con j l'angolo di rotazione.

La traccia della matrice sarà :

(14.11)

da cui :

(14.12)

Poiché la traccia di una matrice ortogonale è invariante per trasformazioni di similarità, questa relazione è valida anche nel caso di uno spostamento con asse di rotazione generico.

Il teorema di Chasles afferma : lo spostamento più generale di un sistema rigido libero è uno spostamento roto-traslatorio.

La dimostrazione di questo teorema è molto semplice una volta dimostrato il teorema di Eulero. Se si elimina infatti il vincolo che il sistema rigido abbia un punto in quiete rispetto ad una terna inerziale, il suo spostamento si può rappresentare come la sovrapposizione di uno spostamento traslatorio e di uno rotatorio della terna solidale con il sistema stesso cioè uno spostamento roto-traslatorio.

Uno spostamento finito di un sistema rigido con un punto in quiete rispetto ad una terna inerziale è quindi, per il teorema di Eulero, rappresentabile mediante una matrice ortogonale. Poiché le matrici ortogonali generalmente non commutano, il risultato finale di due rotazioni finite dipende dalla successione delle rotazioni.

Si consideri ora una rotazione infinitesima, cioè una rotazione descritta dalla relazione :

(14.13)

Se consideriamo due rotazioni caratterizzate dalle matrici E₁ ed E₂, il loro prodotto sarà :

(14.14)

Dalla (14.14) si vede che nel caso infinitesimo le matrici quindi commutano e pertanto il risultato delle due rotazioni non dipende dalla successione delle rotazioni stesse.

Se si considera come esempio una rotazione infinitesima dj attorno all'asse z, la matrice della trasformazione è :

(14.15)

(14.16)

Si può vedere che questa è una caratteristica di tutte le matrici che descrivono rotazioni infinitesime. Infatti l'inversa di una matrice che descrive una rotazione infinitesima è :

(14.17)

(14.18)

(14.19)

(14.20)

(14.21)

(14.22)

La variazione del vettore posizione di un punto nello spazio per effetto della rotazione infinitesima si scrive :

(14.23)

(14.24)

la (14.23) si può scrivere :

(14.25)

cioè le rotazioni infinitesime possono venir descritte da un vettore.

Dalla (14.25) si vede anche che gli unici punti i cui vettori posizione non subiscono variazioni per effetto di una rotazione infinitesima sono quelli aventi vettori posizione paralleli a e pertanto ha la direzione dell'asse di istantanea rotazione. Il modulo di si può determinare considerando una rotazione infinitesima attorno all'asse z. Dalla (14.16) si vede che in questo caso il modulo di è proprio uguale all'angolo di rotazione infinitesima dj . Poiché il modulo di un vettore è invariante per trasformazioni ortogonali, il modulo di sarà uguale all’angolo di rotazione infinitesima per ogni tipo di rotazione.

Se con dt si indica l'intervallo di tempo infinitesimo impiegato a compiere la rotazione infinitesima, allora si può definire un secondo vettore :

(14.26)

chiamato velocità angolare della rotazione.

Questo vettore ha quindi la direzione ed il verso di ed ha come modulo il rapporto tra l'angolo di rotazione infinitesima ed l’intervallo di tempo infinitesimo impiegato a compiere la rotazione.

Se si considera la generica particella i-esima del sistema rigido, dividendo per dt la (14.25) e cambiando segno si ottiene anche :

(14.27)

cioè la velocità di ciascuna delle particelle che costituiscono un sistema rigido con un punto in quiete rispetto ad un sistema inerziale, si può ottenere in funzione del vettore .

Se si considera ora un sistema rigido libero, la velocità della generica particella i-sima si scrive :

(14.28)

dove rappresenta la velocità dell'origine della terna solidale con il sistema rigido.

Un'ultima osservazione riguarda il comportamento dei vettori ed rispetto a trasformazioni ortogonali descritte dalla matrice inversione. Se si applica la matrice S a ed si avrà :

(14.29)

Se si vuole che la relazione (14.25) rimanga valida anche nel nuovo sistema, dovrà essere :

(14.30)

Il vettore (e quindi ) ha quindi un comportamento anomalo rispetto a tutte le trasformazioni ortogonali con determinante negativo e per questa ragione viene chiamato pseudo-vettore.

Come detto in precedenza, gli elementi della matrice ortogonale A che descrivono la rotazione di un qualunque sistema rigido avente un punto in quiete rispetto ad un sistema inerziale non sono indipendenti e pertanto non possono venir assunti come coordinate lagrangiane. Una possibile terna di coordinate lagrangiane è costituita dagli angoli di Eulero j , q , y . Questi tre angoli definiscono tre rotazioni successive con le quali si possono sovrapporre due terne cartesiane aventi origini coincidenti ed orientamento qualunque.

Il primo angolo j definisce una rotazione attorno all'asse z che è rappresentata dalla matrice :

(14.31)

Il secondo angolo q definisce una rotazione attorno al nuovo asse x₁ (asse dei nodi) che è rappresentata dalla matrice :

(14.32)

Il terzo angolo y definisce una rotazione attorno al nuovo asse z’ ed è rappresentata dalla matrice :

(14.33)

Complessivamente, l'effetto delle tre rotazioni successive sarà dato dalla matrice (14.34) :

Poiché è sempre possibile descrivere una rotazione infinitesima mediante un vettore, si possono definire le derivate prime degli angoli di Eulero in termini di componenti del vettore velocità angolare :

(14.35)

Questi tre vettori non sono però diretti ortogonalmente : come l'asse z, come l'asse dei nodi e come il nuovo asse z. Si possono però calcolare le componenti rispetto ai nuovi assi.

Applicando la matrice A ad si ottiene :

(14.36)

Applicando la matrice Ay ad :

(14.37)

è già diretto come il nuovo asse z :

(14.38)

Si ottengono così le seguenti relazioni tra le componenti di rispetto ai nuovi assi e gli angoli di Eulero e le loro derivate :

(14.39)

Se si considera un sistema rigido con un punto in quiete rispetto ad un sistema inerziale, la quantità di moto angolare di tale sistema si scrive :

(14.40)

Sostituendo l'espressione per data dalla (14.26) si ha :

(14.41)

che proiettata su una terna solidale con il sistema rigido :

(14.42)

Le componenti della quantità di moto angolare sono pertanto funzioni lineari delle componenti del vettore velocità angolare. La (14.42) può anche scriversi :

(14.43)

dove gli elementi diagonali di questa matrice sono della forma :

(14.44)

e sono detti momenti d'inerzia rispetto agli assi coordinati, mentre gli elementi non diagonali sono del tipo :

(14.45)

e sono detti prodotti d'inerzia.

Se il sistema rigido è costituito da un insieme continuo di densità r , i coefficienti della matrice prendono la forma :

(14.46)

(14.47)

essendo V il volume occupato dal sistema rigido.

Se si indica con I l'operatore che rappresenta la matrice definita dagli elementi I_ij , la (14.42) può anche scriversi :

(14.48)

Se si effettua una trasformazione ortogonale definita dalla matrice A, l'operatore I si trasformerà per similarità cioè :

(14.49)

e le sue componenti :

(14.50)

dove aij sono gli elementi della matrice A.

La (14.50) permette di affermare che l'operatore I è rappresentabile mediante il seguente tensore del second'ordine :

(14.51)

dove è il tensore unitario e è la diade costruita con le componenti del vettore posizione della particella i-sima.

Se il sistema rigido è continuo, la (14.51) si scrive :

(14.52)

Il tensore così definito prende nome di tensore d'inerzia.

Dall'esame della forma dei momenti d'inerzia e dei prodotti d'inerzia, si deduce che il tensore d'inerzia è simmetrico è pertanto sempre diagonalizzabile. La terna di riferimento in cui il tensore d'inerzia ha forma diagonale prende il nome di terna principale d'inerzia e gli elementi della diagonale momenti principali d'inerzia. Per ottenere la terna principale d'inerzia non è sempre indispensabile diagonalizzare il tensore. Si può infatti dimostrare facilmente che se il sistema rigido ha un asse di simmetria, un qualunque terna costituita da tale asse e da due assi ortogonali appartenenti al piano la cui giacitura è diretta come l'asse di simmetria è una terna principale d'inerzia.

In termini del tensore d'inerzia, la quantità di moto e l'energia cinetica di un sistema rigido con un punto in quiete rispetto ad un sistema inerziale, si scrivono :

(14.53)

(14.54)

Indicando con il versore che individua la direzione di , la precedente si può anche scrivere :

(14.55)

dove I è uno scalare definito dalla :

(14.56)

ed è chiamato momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione. Questa grandezza dipende dalla direzione dell'asse di rotazione e pertanto generalmente il suo valore varia nel tempo. Solo quando il sistema rigido ruota con un asse che mantiene una direzione fissa (moti piani) allora il momento d'inerzia è una costante.

Si può osservare che il momento d'inerzia rispetto ad un asse si può definire come la somma dei prodotti delle masse delle particelle per il quadrato della loro distanza dall'asse stesso. Cioè :

(14.57)

Questa relazione si può scrivere :

(14.58)

ottenendo così la (14.56).

Come il tensore d'inerzia, anche il momento d'inerzia rispetto ad un asse dipende dalla scelta dell'origine del sistema di riferimento solidale con il sistema rigido. esiste però una semplice relazione che lega il momento d'inerzia rispetto ad un dato asse a quello relativo ad un asse parallelo passante per il centro di massa del sistema. Ponendo infatti :

(14.59)

il momento d'inerzia rispetto all'asse a di versore si scrive :

(14.60)

l'ultimo termine si può scrivere :

(14.61)

e la precedente diviene :

(14.62)

cioè il momento d'inerzia rispetto all'asse a è uguale alla somma di quello relativo ad un asse parallelo passante per il centro di massa più il momento d'inerzia dl sistema rispetto all'asse originale nell'ipotesi che tutta la massa sia concentrata nel centro di massa. (Teorema di Huygens-Steiner)

Se il sistema rigido è libero e si sceglie una terna solidale avente origine nel centro di massa, la quantità di moto angolare e l'energia cinetica si scrivono :

(14.63)

Se si considera un sistema rigido con un punto in quiete rispetto ad un sistema inerziale e si suppone che le forze attive siano conservative e derivabili da un potenziale ordinario o generalizzato, questo sistema appartiene alla sottoclasse dei sistemi lagrangiani. Le reazioni vincolari sono forze interne ed il loro lavoro virtuale complessivo è senz'altro nullo.

Se si assume come terna solidale con il sistema una terna principale d'inerzia, la Lagrangiana si scrive :

(14.66)

Poiché le coordinate j , q , y sono di rotazione, le componenti delle forze attive rispetto a tali coordinate sono i momenti delle stesse forze rispetto agli assi di rotazione. Di questi, solo la componente rispetto alla coordinata y è relativa all'asse z della terna solidale con il sistema, in quanto le altre sono relative all'asse z del sistema inerziale ed alla linea dei nodi.

L'equazione di Lagrange per la coordinata y si può scrivere :

(14.67)

Dalle (14.39) che forniscono le componenti di in funzione degli angoli di Eulero e delle loro derivate si ha :

(14.68)

La (14.67) diviene :

(14.69)

Permutando gli indici della precedente, si possono ottenere le tre equazioni :

(14.70)

dette equazioni di Eulero.

Si può osservare che queste equazioni non sono le equazioni di Lagrange per il sistema rigido, ma solamente la terza è l'equazione di Lagrange corrispondente alla coordinata y . In compenso, nelle (14.70) compaiono al secondo membro le componenti del momento delle forze attive secondo la terna di assi solidale con il sistema rigido.

Considerato un sistema rigido con un punto in quiete rispetto ad un sistema inerziale, si supponga che i tre momenti principali d'inerzia siano tutti diversi e si abbia I_zz >I_yy >I_xx .

Si consideri una rotazione rispetto all'asse x e si introduca una perturbazione infinitesima. Cioè :

(14.71)

dove l e m sono quantità infinitesime.

Sostituendo la (14.71) nelle equazioni di Eulero si ha :

(14.72)

Dalla prima si ha :

(14.73)

che sostituita nelle rimanenti :

(14.74)

Derivando e sostituendo le espressioni delle derivate prime si ottiene :

(14.75)

Se si definisce :

(14.76)

le (14.75) si scrivono :

(14.77)

Poiché W _x è reale, allora le rotazioni attorno all'asse x sono stabili.

Se si ripete il procedimento per le rotazioni attorno agli assi y e z si ottengono le costanti :

(14.78)

(14.79)

Si vede così che W _y non è reale mentre W _z è reale. Questo significa che le rotazioni attorno all'asse y non sono stabili, mentre quelle attorno all'asse z sono stabili. In conclusione si può affermare che le rotazioni sono stabili rispetto a quelle direzioni per cui i momenti principali d'inerzia sono massimi e minimi.

Se il sistema è simmetrico e l'asse z è assunto coincidente con l'asse di simmetria, allora W _x e W _y sono nulli e le rotazioni risultano stabili solo nella direzione z.

Se le particelle che compongono il sistema rigido si muovono parallelamente ad un piano, allora il sistema si muove di moto piano. In questo caso è semplice dimostrare che il moto più generale del sistema è traslatorio o puramente rotatorio. Secondo la (14.28) la velocità della generica particella di un sistema rigido libero è :

(14.80)

Se = 0 allora il moto è puramente traslatorio. Se # 0 ed il moto è piano, allora è sempre ortogonale al piano di moto ed è quindi possibile determinare nel piano un punto C tale per cui :

(14.81)

e la (14.80) diviene :

(14.82)

e lo spostamento è in questo caso puramente rotatorio.

Il punto C è detto centro d’istantanea rotazione.

E’ possibile determinare il centro d’istantanea rotazione quando si conoscono le traiettorie di due particelle del sistema rigido. Dette infatti A e B le due particelle, si ha :

(14.83)

Poichè sia che sono tangenti alla traiettoria, il punto C deve stare sull’intersezione delle normali alla traiettoria stessa.

esempio 1 : tensore d'inerzia per un manubrio

esempio 2 : tensore d'inerzia per un cubo omogeneo

esempio 3 : tensore d'inerzia per un sistema discreto

esempio 4 : rotatore simmetrico isolato

esempio 5 : rotatore simmetrico pesante

esempio 6 : centro d'istantanea rotazione

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