Come nella meccanica lagrangiana si è definito lo spazio delle configurazioni, così nella meccanica hamiltoniana è naturale definire un iperspazio a 2n dimensioni dove la configurazione e lo stato dinamico di un sistema con n gradi di libertà è individuato da un punto, detto ancora punto rappresentativo del sistema. L’iperspazio così definito prende il nome di spazio delle fasi.

Per ricavare le equazioni canoniche dal principio di Hamilton, si può ricavare l’espressione della Lagrangiana dalla definizione di Hamiltoniana :

(17.1)

Sostituendo quest'espressione nel principio di Hamilton :

(17.2)

Effettuando la variazione :

(17.3)

Il primo termine si può scrivere :

(17.4)

Il primo termine è nullo poichè tutte le traiettorie variate sincrone passano all'istante iniziale e finale per le stesse configurazioni. La (17.3) si può quindi scrivere :

(17.5)

Poichè le q_i ed i p_i sono indipendenti, sono indipendenti anche le loro variazioni e pertanto l'annullamento dell'integrale richiede che :

(17.6)

che sono le equazioni canoniche di Hamilton.

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