Dalla definizione dell'Hamiltoniana si vede che la differenza tra H ed L è data dal termine che non contiene esplicitamente le q_i. Se ne deduce che se una coordinata q_i è ciclica nella Lagrangiana, essa sarà ciclica anche nell'Hamiltoniana. Ne consegue che le leggi di conservazione stabilite per la meccanica lagrangiana sono valide anche nella meccanica hamiltoniana.

In particolare la conservazione dell'Hamiltoniana può essere dimostrata utilizzando le equazioni di Hamilton :

(18.1)

cioè, sostituendo le equazioni (16.9) si ottiene :

(18.2)

Quindi l'Hamiltoniana si conserva quando non dipende esplicitamente dal tempo. Si è visto nel §8 che se i vincoli sono scleronomi e l'energia potenziale delle forze attive è ordinaria, allora l'Hamiltoniana coincide con l'energia totale. Vi sono delle situazioni fisiche dove l'Hamiltoniana si conserva pur non coincidendo con l'energia totale del sistema.

Si consideri ad esempio una particella di massa m vincolata a muoversi senza attrito su un asse che ruota in un piano orizzontale con velocità angolare w costante e sottoposta ad una forza elastica di costante k>0 che la attira verso l'asse di rotazione.

Il vincolo è olonomo e bilatero, l'unica reazione vincolare è normale al vincolo e quindi il suo lavoro virtuale è nullo. L'unica forza attiva agente è conservativa e quindi il sistema appartiene alla sottoclasse dei sistemi hamiltoniani. Il sistema ha un grado di libertà e se si indica con s la distanza della particella dall'asse di rotazione, l'energia cinetica si scrive :

(18.3)

L'energia potenziale :

(18.4)

L'energia totale :

(18.5)

Dalla (18.3) si ha che il momento coniugato ad s è :

(18.6)

L'Hamiltoniana si scrive :

(18.7)

che non coincide con l'energia totale (18.5).

Poichè il vincolo è reonomo, l'energia totale non si conserva. Poichè non dipende esplicitamente dal tempo, l'Hamiltoniana si conserva mentre essendo il vincolo reonomo, l'energia totale non si conserva. Si può notare che l'Hamiltoniana coincide con l'energia totale riferita ad un sistema solidale con l'asse e quindi non inerziale. In questo sistema il vincolo è scleronomo e Hamiltoniana ed energia totale coincidono.

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