Nel §8 si è visto come le equazioni di Lagrange siano invarianti per trasformazioni di coordinate. Nella meccanica di Hamilton non solo le coordinate ma anche i momenti possono subire una trasformazione ; si devono cioè prendere in considerazione trasformazioni del tipo :

(19.1)

E' pertanto ragionevole chiedersi se le equazioni canoniche di Hamilton sono invarianti per qualunque trasformazione definita da equazioni del tipo (19.1). La risposta è negativa. Le equazioni canoniche di Hamilton sono invarianti solo rispetto ad una sottoclasse di trasformazioni. Questa sottoclasse prende il nome di trasformazioni canoniche.

Per determinare a quale condizione la trasformazione (19.1) deve soddisfare perchè le equazioni di moto nel nuovo spazio delle fasi abbiano ancora forma canonica, si può imporre che sia le vecchie variabili che le nuove devono soddisfare il principio variazionale di Hamilton. Detta K(Q_i,P_i,t) l’Hamiltoniana nel nuovo sistema di coordinate, si ha :

(19.2)

Affinchè le variazioni dei due integrali siano contemporaneamente nulle, è sufficiente che i due integrandi differiscano per il differenziale totale di una funzione arbitraria F, cioè :

(19.3)

Dalla prima delle (19.1) si ottiene :

(19.4)

Se si assume F dipendente da q_i, p_i,t, il suo differenziale si può scrivere :

(19.5)

La (19.3) diviene :

(19.6)

Uguagliando i termini in dt si ottiene :

(19.7)

Sostituendo quest’espressione nella (19.3) si ottiene :

(19.8)

Se si assume il tempo come parametro, la precedente si può scrivere :

(19.9)

Questa relazione che deve esistere tra le vecchie variabili q_i, p_i e le nuove Q_i, P_i affinchè le (19.1) rappresentino una trasformazione canonica è detta relazione di Lie.

La funzione F è detta invece funzione generatrice della trasformazione canonica. Infatti, si può osservare che la F dipende dalle vecchie variabili, dalle nuove variabili e dal tempo. Esistendo tra le vecchie variabili e le nuove le 2n relazioni (19.1), solo 2n variabili delle 4n da cui dipende F sono indipendenti. Se si vuole che F dipenda da n variabili nuove ed n variabili vecchie, si possono avere le quattro seguenti possibilità :

(19.10)

Se si assume la forma funzionale F₁, la (19.3) si può scrivere :

(19.11)

Uguagliando i coefficienti dei termini in dq_i, dQ_i si ottiene :

(19.12)

Uguagliando i coefficienti dei termini in dt si ottiene :

(19.13)

Le (19.12) permettono di determinare le equazioni della trasformazione canonica. Infatti dalle prime n si possono determinare le Q_i=Q_i(q_i, p_i,t). Sostituendo queste espressioni nelle seconde n si ottengono le P_i=P_i(q_i, p_i,t).

La (19.13) permette invece di determinare la nuova Hamiltoniana K, che come si vede differisce dalla vecchia per la derivata parziale rispetto al tempo della funzione generatrice. Solo quando la trasformazione non contiene il tempo, le due Hamiltoniane coincidono.

Se si assume la forma funzionale F₂, il passaggio dalle variabili (q_i, Q_i, t) alle variabili (q_i, P_i, t) può venir effettuato con una trasformazione di Legendre poichè dalle (19.12) si vede che . Si ha così :

(19.14)

Sostituendo quest’espressione nella (19.9) si ottiene :

(19.15)

Uguagliando i coefficienti dei termini in dq_i, dP_i si ottiene :

(19.16)

Uguagliando i coefficienti dei termini in dt si ottiene :

(19.17)

Procedendo in modo analogo, si ottengono per le altre due forme funzionali le seguenti espressioni :

(19.18)

(19.19)

(19.20)

(19.21)

Esempio 1 : trasformazione identica

Esempio 2 : trasformazioni di coordinate

Esempio 3 : oscillatore armonico

Esempio 4 : calcolo delle funzione generatrice

Esempio 5 : trasformazione complessa

Esempio 6 : trasformazione dipendente dal tempo

Torna al Sommario