Si consideri una particella libera in un campo di forze assalsimmetrico. La forza è funzione della sola distanza dall’asse di simmetria. Si scriva l’Hamiltoniana in un sistema di riferimento inerziale. Si determini quindi la trasformazione canonica che fa passare dal sistema inerziale ad un nuovo sistema di riferimento che ruoti con velocità angolare w costante attorno all’asse di simmetria. Si scriva l’Hamiltoniana nel nuovo sistema di riferimento.

Assunto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con l’asse z coincidente con l’asse di simmetria, l’Hamiltoniana coincide con l’energia totale e si può scrivere :

(1)

dove con V si è indicata l’energia potenziale del campo di forza.

La funzione generatrice della trasformazione desiderata è :

(2)

dove :

(3)

L’Hamiltoniana nel nuovo sistema di riferimento si scrive :

(4)

Cioè, essendo

l’Hamiltoniana nel nuovo sistema è :

(5)

Come si vede K non dipende esplicitamente dal tempo e quindi è una costante di moto e rappresenta l’energia totale nel nuovo sistema di riferimento. Il termine contiene parte dell’effetto delle forze apparenti (metà dell’energia potenziale della forza di Coriolis)

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