.§ 2. - VINCOLI. REAZIONI VINCOLARI. COORDINATE
LAGRANGIANE. SPOSTAMENTI VIRTUALI
2.1 – Definizione di vincolo
Fissato un sistema di riferimento, la posizione di una particella può venir individuata ad ogni istante assegnando il vettore posizione .
Se la particella non è soggetta a nessuna condizione che ne limiti la mobilità, tale particella si dirà libera. In caso contrario si dirà vincolata.
Considerando un sistema di particelle, la sua configurazione rispetto ad un dato sistema di riferimento può essere identificata ad ogni istante assegnando l'insieme dei vettori posizione 
di tutte le particelle costituenti il sistema.
Se le particelle che costituiscono il sistema sono tutte libere allora il sistema si dirà libero, in caso contrario vincolato.
La presenza di vincoli viene tradotta introducendo un sistema di forze che agiscono sulle particelle limitandone la mobilità. Queste forze vengono dette forze o reazioni vincolari mentre le altre forze che agiscono sul sistema ma che non derivano dai vincoli vengono dette forze attive.
2.2 – Classificazione dei vincoli
L'esistenza di vincoli fa si che le componenti dei vettori posizione o coordinate delle particelle non siano più completamente indipendenti. Se ad es. una particella è vincolata a muoversi nel piano xy lungo la retta di equazione :
(2.1) 
le due coordinate x ed y devono essere in ogni istante legate dalla relazione (2.1).
In base alla forma delle relazioni che legano le coordinate delle particelle, si possono distinguere due categorie di vincoli :
(2.2) 
In base alla dipendenza dal tempo, si distinguono due tipi di vincoli :
In base al tipo di reazione vincolare esistente, si distinguono due tipi di vincoli :
2.3 - Gradi di libertà e coordinate lagrangiane
La configurazione di un sistema libero comprendente N particelle è definita dagli N vettori posizione 
delle particelle. In uno spazio tridimensionale è quindi individuata da 3N coordinate indipendenti. Se si definisce come numero dei gradi di libertà del sistema il minimo numero di coordinate indipendenti necessario per individuare la configurazione, allora un sistema libero ha 3N gradi di libertà.
Se un sistema è vincolato, le coordinate che ne individuano la configurazione non sono indipendenti. Se i vincoli sono di tipo olonomo, le condizioni esistenti tra le coordinate sono esprimibili mediante k relazioni del tipo (2.2). Il numero di coordinate indipendenti sarà dunque :
(2.9) n = 3N - k
e pertanto il numero dei gradi di libertà del sistema è n.
E' cosi possibile introdurre n coordinate indipendenti che tengano conto implicitamente dei vincoli e tali per cui i vettori posizione delle particelle siano esprimibili come :
(2.10) 
Queste coordinate sono dette coordinate lagrangiane del sistema.
I vettori velocità delle particelle si scrivono :
(2.11) 
dove le 
sono dette velocità generalizzate.
L'energia cinetica del sistema si scriverà pertanto :
(2.12) 
dove
Si noti che se i vincoli sono scleronomi, allora 
e l'energia cinetica diviene una funzione omogenea di secondo grado delle velocità generalizzate.
2.4 - Spostamenti reali e virtuali
L'esistenza di vincoli permette di introdurre due diversi tipi di spostamento : reale e virtuale. Come spostamento reale si intende uno spostamento effettivo della particella o del sistema di particelle che sia compatibile con i vincoli ed il loro eventuale movimento. Come spostamento virtuale si intende uno spostamento compatibile con i vincoli supposti congelati all'istante in cui si inizia lo spostamento.
Se si considera un sistema sottoposto a vincoli olonomi, lo spostamento effettivo dell'-iesima particella si scrive :
(2.13) 
Lo spostamento virtuale è invece :
(2.14) 
I due spostamenti coincidono quindi soltanto quando 
cioè i vincoli non dipendono dal tempo.