L.Biasi - Meccanica Razionale

§ 20. - INVARIANTI INTEGRALI, PARENTESI DI LAGRANGE E DI POISSON

Nella meccanica hamiltoniana, le equazioni di moto non sono le sole espressioni che rimangono formalmente invarianti per effetto di una trasformazione canonica. Esistono altri operatori che soddisfano a questa proprietà.

20.1 - Teorema di Poincarè

Un esempio è costituito dagli invarianti integrali di Poincarè : se si considera nello spazio delle fasi una qualunque superficie bidimensionale S, il teorema di Poincarè afferma che l’integrale :

(20.1)

è invariante per trasformazioni canoniche. Cioè, se si effettua la trasformazione canonica :

(20.2)

deve essere :

(20.3)

Per dimostrare questo teorema si osservi anzitutto che la posizione di un punto sulla superficie bidimensionale S può essere determinata mediante due coordinate lagrangiane u,v :

(20.4)

Si ha allora :

(20.5)

La (20.3) si può allora scrivere :

(20.6)

Cioè :

(20.7)

Per dimostrare il teorema di Poincarè è quindi sufficiente dimostrare l’invarianza per trasformazioni canoniche dello Jacobiano della trasformazione stessa.

Se si assume che la trasformazione (20.2) sia generata da una funzione generatrice del tipo F₂=F₂(q,P,t), allora si può scrivere per le (19.16) :

(20.8)

e lo Jacobiano si scrive :

(20.9)

La precedente si può anche scrivere :

(20.10)

Il primo determinante è nullo e pertanto può essere sostituito con un’altra espressione anch’essa nulla :

(20.11)

e la (20.9) diviene :

(20.12)

cioè :

(20.13)

e per le equazioni di trasformazione (19.16) :

(20.14)

ed il teorema risulta dimostrato.

Con un procedimento analogo al precedente si può dimostrare che anche il seguente integrale :

(20.15)

dove S è ora una superficie quadridimensionale immersa nello spazio delle fasi, è invariante per trasformazioni canoniche. Per induzione si può così dimostrare che anche l’integrale :

(20.16)

esteso a qualunque regione S_2n dello spazio delle fasi è invariante per trasformazioni canoniche.

Si può osservare che J_n rappresenta il volume della regione dello spazio delle fasi considerata e pertanto il teorema di Poincarè stabilisce l’invarianza canonica del volume di qualunque regione dello spazio delle fasi. Questa proprietà verrà utilizzata nella dimostrazione del teorema di Liouville ( § 30).

20.2 - Definizione delle parentesi di Lagrange

La (20.14) si può anche scrivere :

(20.17)

Considerate due funzioni canoniche u(q_i,p_i,t), v(q_i,p_i,t) questa relazione suggerisce di definire l’operatore parentesi di Lagrange rispetto al sistema di coordinate q_i, p_i :

(20.18)

Per la (20.17) quest’espressione risulta un invariante canonico e pertanto ha lo stesso valore rispetto a qualunque sistema di coordinate venga calcolato ed è quindi inutile indicarlo nella parentesi.

20.3 - Proprietà delle parentesi di Lagrange

Dalla definizione (20.18) si vede che le parentesi di Lagrange sono antisimmetriche :

(20.19)

Se si assumono come funzioni u,v le coordinate ed i momenti, si ottengono le seguenti relazioni :

(20.20)

Le (20.20) definiscono le parentesi di Lagrange fondamentali.

Le parentesi fondamentali sono importanti perchè permettono di dimostrare che una trasformazione è canonica se le parentesi fondamentali di Lagrange nelle nuove coordinate e momenti hanno i valori previsti dalle (20.20), cioè :

(20.21)

La relazione di Lie si può scrivere, assumendo q(Q,P,t) :

(20.22)

La condizione affinchè quest’espressione sia un differenziale esatto è espressa dalle tre relazioni :

(20.23)

Effettuando le derivate e ricordando che coordinate e momenti sono indipendenti, si trovano le relazioni (20.21).

Le parentesi fondamentali di Lagrange permettono anche di determinare le relazioni tra le derivate di Q,P considerate come funzioni di q,p e tra le derivate di q,p considerate come funzioni di Q,P . Si consideri l’espressione :

(20.24)

da cui si ottiene :

(20.25)

Si consideri ora l’espressione :

(20.26)

da cui si ottiene :

(20.27)

20.4 - Definizione delle parentesi di Poisson

Considerate due funzioni canoniche u(q_i,p_i,t), v(q_i,p_i,t), si definisce parentesi di Poisson rispetto al sistema di coordinate q_i, p_i , l’espressione :

(20.28)

Se si assumono come funzioni u,v le coordinate ed i momenti, si ottengono le seguenti relazioni :

(20.29)

che prendono nome di parentesi fondamentali di Poisson.

Per mezzo delle (20.25) e (20.27) si può vedere che esistono le seguenti relazioni tra le parentesi fondamentali di Lagrange e Poisson :

(20.30)

(20.31)

(20.32)

Avendo dimostrato che le parentesi di Lagrange sono invarianti per trasformazioni canoniche, le precedenti permettono di affermare che anche le parentesi fondamentali di Poisson sono invarianti canonici.

Sfruttando le proprietà delle parentesi fondamentali, si può dimostrare che anche le parentesi di Poisson tra due generiche funzioni canoniche u(q_i,p_i,t) e v(q_i,p_i,t sono invarianti canonici. Infatti, se si considera la trasformazione canonica (20.2), si può scrivere :

(20.33)