Si consideri la trasformazione :

(1)

Si determinino le due funzioni incognite P₁(q₁, q₂, p₁, p₂), P₂(q₁, q₂, p₁, p₂) in modo tale che la trasformazione (1) sia canonica.

Sfruttando le proprietà delle parentesi fondamentali di Poisson si ottiene :

La trasformazione completa si scrive così :

(3)

dove f(q₁,q₂) e g(q₁,q₂) sono due funzioni arbitrarie delle coordinate.

Se si considera l’Hamiltoniana :

(4)

Utilizzando la trasformazione canonica determinata, si può passare in uno spazio delle fasi dove tutte le coordinate sono cicliche.

Poichè la trasformazione non contiene il tempo, se si scelgono le due funzioni arbitrarie come :

l’Hamiltoniana nel nuovo spazio delle fasi si scrive :

(5)

ove tutte le coordinate sono cicliche e pertanto i momenti coniugati sono costanti. La descrizione del moto è fornita dalle equazioni di Hamilton :

(6)

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