Oltre le trasformazioni canoniche finite, è possibile definire le trasformazioni canoniche infinitesime come quelle trasformazione per cui le nuove coordinate ed i nuovi momenti differiscono dalle vecchie coordinate e dai vecchi momenti per quantità infinitesime :

(21.1)

dove d q_i e d p_i sono quantità infinitesime.

La funzione generatrice di una trasformazione di questo tipo differisce dalla funzione generatrice della trasformazione identica (pag. 114) per una quantità infinitesima :

(21.2)

dove e è una quantità infinitesima. Applicando le equazioni di trasformazione (19.16) si ottiene :

(21.3)

Le (20.1) si possono scrivere :

(21.4)

La funzione generatrice G può essere considerata funzione di q_i e p_i in quanto i nuovi momenti differiscono dai vecchi per quantità infinitesime e nelle espressioni precedenti la derivata di G è sempre moltiplicata per la quantità infinitesima e .

Dalle (21.4) si ottiene :

(21.5)

Le equazioni (20.1) possono intendersi come le equazioni di una trasformazione che fa passare da uno spazio delle fasi ad uno infinitamente prossimo, oppure possono intendersi come le equazioni che fanno passare da un punto ad un altro infinitamente prossimi ed appartenenti allo stesso spazio delle fasi. Se si considera una qualunque funzione canonica u(q_i,p_i,t) la variazione che tale funzione subisce quando si interpreta la trasformazione in questo secondo modo è :

(21.6)

cioè la variazione di una funzione è uguale al prodotto della quantità infinitesima per la parentesi di Poisson della funzione con la funzione generatrice della trasformazione infinitesima.

Se la funzione u(q_i,p_i,t) è l’Hamiltoniana del sistema, la (21.6) si scrive :

(21.7)

Se G è una costante di moto che non dipende esplicitamente dal tempo, dalla (20.37) si ottiene che la sua parentesi di Poisson con l’Hamiltoniana è nulla. Si possono pertanto interpretare le costanti di moto non dipendenti esplicitamente dal tempo come generatori di trasformazioni canoniche che lasciano inalterata l’Hamiltoniana. Ad esempio, se l’Hamiltoniana è ciclica rispetto ad una certa coordinata, una qualunque variazione di tale coordinata lascerà inalterata l’Hamiltoniana stessa. Allora, il generatore di una trasformazione infinitesima che fa variare solo questa coordinata è una costante di moto del sistema.

Si supponga che q_i si una coordinata di traslazione e si consideri una trasformazione infinitesima in cui venga variata la sola q_i. Tale trasformazione sarà definita dalle :

(21.8)

Dalle (21.5) si ottiene che il generatore di questa trasformazione è :

(21.9)

Quindi il momento coniugato ad una coordinata di traslazione genera una trasformazione infinitesima che corrisponde ad una traslazione infinitesima del sistema nella direzione individuata dalla coordinata. E’ chiaro che se la coordinata è ciclica allora si ritrova la legge di conservazione della quantità di moto.

Si consideri ora una rotazione di un angolo infinitesimo dq nella direzione dell’asse z. Le nuove coordinate saranno :

(21.10)

da cui si ottiene :

(21.11)

Integrando le (21.5) si ottiene :

(21.12)

Poichè la direzione z è arbitraria, se si considera un generica direzione , la (21.12) si scrive :

(21.13)

La quantità di moto angolare è quindi il generatore delle trasformazioni infinitesime che corrispondono a rotazioni infinitesime del sistema nella direzione della quantità di moto angolare stessa.

Se si considera una funzione canonica vettoriale la sua variazione per una rotazione infinitesima dq nella generica direzione è per la (21.6) :

(21.14)

Nel §14 si è dimostrato che la variazione di un vettore per una rotazione infinitesima è data dalla :

(21.15)

Uguagliando le due precedenti si ha :

(21.16)

In particolare se coincide con la quantità di moto angolare, la (21.16) si scrive :

(21.17)

che in termini di componenti si scrive :

(21.18)

dove i,j,k sono presi in ordine ciclico.

Per il teorema di Poisson, se due componenti della quantità di moto angolare sono costanti di moto, allora anche la loro parentesi di Poisson è una costante di moto. Dalla (21.18) si vede allora che anche la terza componente è una costante di moto e pertanto la quantità di moto angolare è un vettore costante.

Se si considera il modulo della quantità di moto angolare, la (21.17) si scrive :

(21.19)

per le proprietà del doppio prodotto misto.

La (21.18) permette di affermare che se tutte le componenti della quantità di moto angolare sono diverse da zero, allora tali componenti non possono essere assunte come coordinate o momenti in una descrizione hamiltoniana del moto poichè le loro parentesi di Poisson fondamentali non avrebbero il valore richiesto. Si vede invece dalla (21.19) che il modulo della quantità di moto angolare e qualsiasi coppia di componenti ortogonali possono costituire coordinate o momenti in un sistema hamiltoniano.

Esempio 1 : pendolo sferico

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