Si consideri il sistema hamiltoniano :

(22.1)

e sia

(22.2)

il suo integrale generale. Poichè le 2n costanti a_i e b_i sono arbitrarie ed indipendenti, lo Jacobiano associato alle (22.2) è diverso da zero, cioè :

(22.3)

Le (22.2) possono allora venir risolte rispetto alle costanti a_i e b_i :

(22.4)

Si supponga che le 2n costanti a_i e b_i rappresentino i 2n valori iniziali delle coordinate e dei momenti. All’istante iniziale, le parentesi di Lagrange di queste costanti sono :

(22.5)

Per la relazione che esiste tra le parentesi fondamentali di Lagrange e quelle di Poisson (§ 20) ne segue che :

(22.6)

Per il teorema di Poisson queste relazioni sono valide per qualunque tempo e quindi le relazioni (22.4) e le (22.2) definiscono una trasformazione canonica che fa passare coordinate e momenti dai valori iniziali a quelli al generico istante t.

Il movimento del punto rappresentativo del sistema nello spazio delle fasi è descritto dalle relazioni (22.2) che rappresentano la soluzione del sistema differenziale (22.1) o definiscono una trasformazione canonica che permette di passare dalla posizione iniziale di tale punto a quella relativa al generico istante t.

La teoria di Hamilton-Jacobi permette di determinare la funzione generatrice della trasformazione canonica che descrive il moto del sistema.

La trasformazione canonica cercata deve portare ad un sistema di coordinate e momenti costanti. Questa condizione è sicuramente verificata se la nuova Hamiltoniana è una costante che non dipende nè da Q_i nè da P_i :

(22.7)

Se si assume che la funzione generatrice della trasformazione incognita sia del tipo F₂, valgono le seguenti relazioni :

(22.8)

Se si assume, senza alcuna perdita di generalità, che K sia nulla, le precedenti consentono di scrivere :

(22.9)

L’equazione ottenuta è detta equazione di Hamilton-Jacobi, è alle derivate parziali del primo ordine e consente di determinare la funzione generatrice della trasformazione cercata.

Nella (22.9) ci sono n+1 variabili indipendenti costituite dalle n coordinate q_i e dal tempo t. Il suo integrale generale viene indicato con S, è chiamato funzione principale di Hamilton e contiene n+1 costanti d’integrazione arbitrarie. Poichè nell’equazione compaiono solo le derivate della funzione incognita, una delle costanti d’integrazione è puramente additiva e pertanto S dipende dalle n coordinate q_i , dal tempo e da n costanti arbitrarie indipendenti :

(22.10)

La funzione S genera una trasformazione canonica che trasforma coordinate e momenti in un sistema di 2n costanti. Per poter determinare un integrale particolare del moto è necessario determinare la relazione che esiste tra queste 2n costanti ed i valori iniziali di coordinate e momenti.

Un possibile modo di procedere è quello di assumere che i nuovi momenti costanti siano uguali alle n costanti di integrazione arbitrarie dell’equazione di Hamilton.Jacobi :

(22.11)

Ricordando che la S è stata assunta del tipo F₂, le prime n equazioni di trasformazione si scrivono :

(22.12)

Queste n relazioni possono venir valutate all’istante iniziale e risolte rispetto ad a _i, ottenendo così le costanti d’integrazione come funzioni dei valori iniziali delle coordinate e dei momenti :

(22.13)

Le seconde n equazioni di trasformazione si scrivono :

(22.14)

Valutando anche queste relazioni all’istante iniziale, tenendo conto delle (22.13) si ha :

(22.15)

Risolvendo infine le (22.14) rispetto alle q_i si ottiene :

(22.16)

e sostituendole nelle (22.12) :

(22.17)

Le equazioni (22.12) e (22.14) possono sempre venir risolte rispetto alle q_i ed a _i poichè lo Jacobiano delle rispetto alle coordinate q_i è sicuramente diverso da zero in quanto le n costanti a _i sono indipendenti. Ne segue quindi che anche lo Jacobiano delle rispetto alle q_i è diverso da zero.

Le (22.16)-(22.17) costituiscono le equazioni di moto del sistema. I valori iniziali di coordinate e momenti sono contenute nelle 2n costanti a _i e b _i attraverso le (22.13)-(22.15).

Si può verificare che le espressioni (22.16)-(22.17) così ottenute soddisfano alle equazioni di Hamilton, derivando rispetto al tempo le (22.14) :

(22.18)

Dall’equazione di Hamilton-Jacobi si ottiene :

(22.19)

e pertanto :

(22.20)

Sostituendo quest’espressione nella (22.18) si ottiene :

(22.21)

Derivando i momenti rispetto al tempo :

(22.22)

Dalla (22.19) si ottiene :

(22.23)

Sostituendo nella (22.22) si ottiene :

(22.24)

Se l’Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo, l’equazione di Hamilton-Jacobi si scrive :

(22.25)

Facendo la seguente posizione :

(22.26)

la precedente si scrive :

(22.27)

La funzione incognita così definita è chiamata funzione caratteristica di Hamilton. Anche la (22.27) è un’equazione alle derivate parziali del primo ordine ed il suo integrale generale contiene n costanti d’integrazione arbitrarie. Poichè però anche in questo caso nell’equazione compaiono solo le derivate della funzione incognita, una delle costanti è puramente additiva, la soluzione dipenderà dalle q_i , da n-1 costanti d’integrazione indipendenti e da a ₁ che rappresenta il valore costante dell’Hamiltoniana, cioè :

(22.28)

La funzione W è quindi quella parte della funzione principale di Hamilton che contiene la dipendenza dalle n coordinate e dalle n costanti d’integrazione. Ma mentre la funzione principale di Hamilton genera una trasformazione canonica che porta a coordinate e momenti costanti, la funzione caratteristica genera una trasformazione canonica che porta ad una nuova Hamiltoniana in cui tutte le coordinate sono cicliche. Infatti, se si assume che la funzione generatrice sia del tipo F₂ e che non dipenda esplicitamente dal tempo, vecchia e nuova Hamiltoniana coincidono, cioè :

(22.29)

Ma per le equazioni di trasformazione di una funzione generatrice del tipo F₂ :

(22.30)

Sostituendo queste espressioni nella (22.29) si ottiene l’equazione (22.28) a cui soddisfa la funzione caratteristica di Hamilton W.

Nel nuovo sistema di coordinate, le equazioni di Hamilton si scrivono :

(22.31)

e l’integrale generale si scrive :

(22.32)

Per imporre le condizioni iniziali si procede come nel caso della funzione principale. Dalle n relazioni seguenti :

(22.33)

si possono ottenere le n a _i in funzione dei valori iniziali di coordinate e momenti. Valutando le prime n relazioni delle (22.32) all’istante iniziale si possono ottenere gli n valori delle costanti b _i. Invertendo poi le prime n relazioni delle (22.32) si ottengono le coordinate in funzione del tempo e delle 2n costanti a _i e b _i e dalle (22.33) i momenti in funzione delle stesse variabili.

Si può notare che nelle (22.32) solo la prima relazione contiene il tempo. Quindi le altre n-1 relazioni possono essere risolte rispetto ad una qualunque delle coordinate, ottenendo così la traiettoria del punto rappresentativo del sistema nello spazio delle configurazioni.

Si dice che l’equazione di Hamilton-Jacobi per la funzione caratteristica è separabile, se rappresentando la soluzione come somma di funzioni che dipendono da una sola coordinata :

(22.34)

l’equazione di Hamilton-Jacobi si decompone in un sistema di n equazioni ordinarie :

(22.35)

In questo caso, trattandosi di equazioni del primo ordine, possono sempre essere portate alle quadrature.

Una condizione sufficiente per la separabilità è la seguente : l’equazione di Hamilton-Jacobi per la funzione caratteristica è separabile quando tutte le coordinate ad eccezione di una sono cicliche. Infatti in questo caso se si assume che l’unica coordinata non ciclica si a ₁, poichè i momenti coniugati ad una coordinata ciclica sono costanti si ha :

(22.36)

da cui si ottiene :

(22.37)

La funzione caratteristica si scrive così :

(22.38)

e l’equazione di Hamilton-Jacobi diviene semplicemente :

(22.39)

Si consideri un pendolo semplice (pag. 14). L’Hamiltoniana coincide con l’energia totale e si scrive :

(22.40)

Il momento coniugato pq in funzione della coordinata q si può scrivere :

(22.41)

Se si considera il caso l’andamento di pq in funzione di q è simile al seguente :

cioè, pq è una funzione periodica di q . Quando si verifica questa circostanza, il moto è periodico di tipo rotatorio.

Se si considera invece il caso il moto è fisicamente possibile per q ₁<q <q ₂ e l’andamento di pq in funzione di q è simile al seguente :

cioè, pq (q ) è una linea chiusa. Quando si verifica questa circostanza, il moto è periodico di tipo libratorio.

Se il sistema ha più di un grado di libertà, si avranno moti periodici quando :

• il sistema è tale per cui l’equazione di Hamilton-Jacobi è separabile
• il moto del punto rappresentativo nello spazio delle fasi proiettato in ogni piano p_i, q_i è rotatorio o libratorio anche se con frequenza diversa nei diversi piani

Se il sistema ammette moti periodici, la teoria di Hamilton-Jacobi permette di determinare le frequenze caratteristiche di tali moti senza che sia necessario ottenere la soluzione completa delle equazioni di moto.

Si definisce variabile d’azione corrispondente alla coordinata q_i la seguente grandezza :

(22.42)

dove l’integrale si intende esteso al periodo del moto periodico considerato. Se q_i è una coordinata ciclica il suo momento coniugato è una costante. Se si rappresenta p_i in funzione di q_i si ottiene una retta orizzontale. In questo caso, il moto viene assunto come il caso limite di una rotazione ed il periodo si assume arbitrariamente uguale a 2p .

Poichè le variabili q_i, p_i sono indipendenti, anche le J_i costituiscono un sistema di variabili indipendenti. Se si utilizza la condizione che il sistema sia separabile, la precedente si può anche scrivere :

(22.43)

Quindi le variabili d’azione costituiscono un sistema di costanti indipendenti che dipendono solo dalle n costanti d’integrazione dell’equazione di Hamilton-Jacobi. Invece di assumere come nuovi momenti le n a _i, è quindi possibile assumere come nuovi momenti coniugati proprio le n J_i.

La funzione caratteristica si può scrivere in questo caso :

(22.44)

e l’ Hamiltoniana nel nuovo spazio delle fasi :

(22.45)

Le nuove coordinate sono definite dalle :

(22.46)

sono chiamate in questo caso variabili angolari e soddisfano alle equazioni di Hamilton :

(22.47)

Poichè le n _i sono delle costanti, dalle precedenti si ottiene :

(22.48)

cioè le variabili angolari sono tutte funzioni lineari del tempo.

La variazione che subisce una variabile angolare Q_i quando una qualunque coordinata q_j descrive un periodo completo si può scrivere :

(22.49)

Ma per la definizione di variabile d’azione :

(22.50)

La precedente permette quindi di affermare che le variabili angolari presentano una variazione unitaria quando è la coordinata associata che viene incrementata mentre non presentano alcuna variazione quando sono le altre coordinate ad essere incrementate.

Dalla (22.48) si ottiene :

(22.51)

dove con t _i si è indicato il periodo associato alla coordinata.

Combinando le (22.50)-(22.51) si ottiene :

(22.52)

cioè la n _i rappresenta proprio la frequenza associata al moto periodico della q_i.

Per ottenere quindi le frequenze del moto periodico di un sistema è sufficiente calcolare le variabili d’azione, scrivere la nuova Hamiltoniana in funzione di tali variabili e calcolarne la derivata.

Esempio 1 : parentesi di Lagrange e oscillatore armonico

Esempio 2 : parentesi di Lagrange e particella pesante

Esempio 3 : particella libera

Esempio 4 : particella isolata

Esempio 5 : particella sull'asse x

Esempio 6 : oscillatore armonico

Esempio 7 : particella su piano inclinato

Esempio 8 : particella su una superficie cilindrica

Esempio 9 : problema balistico

Esempio 10 : particella sottoposta a due centri di attrazione

Esempio 11 : frequenze per l'oscillatore armonico

Esempio 12 : frequenze per una particella sottoposta a forza centrale

Esempio 13 : particella in un campo magnetico

Esempio 14 : particella in un campo di dipolo

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