Problema balistico
Si consideri una particella libera di massa m che si muove nello spazio sotto l’azione della forza peso (Problema balistico). L’Hamiltoniana si conserva, coincide con l’energia totale e, preso un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale con l’asse z diretto come l’accelerazione di gravità e con verso opposto, si scrive :
(1)
Le condizioni iniziali sono :
(2) 
Come si vede dall’Hamiltoniana, le coordinate x ed y sono cicliche e pertanto la condizione di separabilità è soddisfatta.
La funzione caratteristica si scrive :
(3) 
L’equazione di Hamilton-Jacobi :
(4) 
Integrando quest’equazione, la funzione caratteristica si può scrivere :
(5) 
La prima metà delle (22.32) si scrive :
(6) 
Le condizioni iniziali forniscono le seguenti relazioni :
(7) 
(8) 
La soluzione si scrive :
(9) 