§ 23. – OTTICA GEOMETRICA E MECCANICA ONDULATORIA

E’ possibile utilizzare la teoria di Hamilton-Jacobi per arrivare, con relazioni di tipo puramente formale, a definire una lunghezza d’onda da associare ad una particella in moto.

Si consideri l’equazione scalare dell’ottica :

(23.1)   

dove :

 = potenziale elettromagnetico

 n = indice di rifrazione

 c = velocita’ della luce nel vuoto

La soluzione della (23.1) dipende dall’indice di rifrazione, o meglio da come l’indice di rifrazione vari nel dominio d’integrazione.

 

1)     caso : n uniforme

Prendendo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la (23.1) si puo’ risolvere separando le variabili :

Dalla prima si ottiene :

 

Dalla seconda :

e quindi l’integrale generale si scrive :

(23.2)   

I due termini che compaiono nella (23.2) rappresentano due onde che si popagano in due direzioni opposte.

Se e’ diretto come l’asse z allora :

             

La soluzione della (23.1) si puo’ scrivere :

(23.3)   

Quest’espressione rapprenta un’onda piana che si propaga nella direzione dell’asse z.  rapprenta l’ampiezza costante dell’onda ed nz-ct la fase. Le superfici d’onda sono costituite dall’insieme dei punti aventi ad un certo istante la stessa fase e quindi sono dei piani normali all’asse z.

 

2)     caso : n lentamente variante nelo spazio

Supporre che l’indice di rifrazione varii lentamente nello spazio significa che n praticamente non varia in una lunghezza d’onda.

Ci si puo’ pertanto aspettare che la soluzione sia si forma simile a quella trovata in precedenza. Naturalmente l’ampiezza non sara’ piu’ costante e la fase dipendera’ dalla posizione del punto dello spazio in cui si osserva l’onda.

La soluzione puo’ essere assunta della forma :

(23.4)   

 ed  sono funzioni reali della posizione che si possono determinare imponendo che la (23.4) sia soluzione della (23.1) :

e la (23.1) diviene :

 

Poiche’ sia A che L sono reali, la precedente e’ equivalente alle due seguenti equazioni :

 

L’ipotesi che n vari lentamente, poiche’  dove  e’ la lunghezza d’onda, permette di trascurare i primi due termini nella prima equazione, ottenendo :

(23.5)   

Quest’equazione in ottica e’ detta equazione dell’iconale e permette di determinare le superfici d’onda L = cost, una volta noto il modo di variare nello spazio dell’indice di rifrazione n.

 

Si consideri ora il moto di una particella di massa m libera di muoversi nello spazio sotto l’azione di una forza conservativa descritta dall’energia potenziale V.

Assunto un riferimanto cartesiano ortogonale, l’equazione di Hamilton-Jacobi per la funzione caratteristica si scrive :

 

cioe’ :

(23.6)   

Confrontando quest’equazione con quella dell’iconale si vede che sono formalmente identiche pur di fare le seguente relazioni di corrispondenza :

             

La funzione principale di Hamilton si puo’ scrivere :

(23.7)   

Nello spazio delle configurazioni, quest’equazione puo’ essere vista come l’equazione che descrive il moto di una superficie che all’istante iniziale coincide con W. Questa superficie puo’ essere quindi considerata come un fronte d’onda che si muove nello spazio delle configurazioni.

Si puo’ pertanto immaginare una corrispondenza :

             

e quindi :

             

Ogni punto della superficie W si sposta con velocita’ :

             

dove ds e’ ortogonale alla superficie. Utilizzando le proprieta’ dell’operatore gradiente

               

Per un incremento dt, la variazione di W e’ :

             

La velocita’ locale si puo’ scrivere :

             

Se si vuole definire una lunghezza d’onda associata alla particella, dovra’ essere :

     

Se si indica con  il potenziale scalare quando la lunghezza d’onda e’ data dalla precedente si ottiene :

Se si pone

si ottiene :

e sostituendo l’espressione trovata per la lunghezza d’onda associata alla particella :

Questa e’ l’equazione di Schroedinger.