Consideriamo una particella di massa m e su cui agiscano delle forze il cui risultante è . In generale, quest'ultimo potrà dipendere dalla posizione della particella, dalla sua velocità ed eventualmente anche dal tempo.

L'equazione fondamentale della dinamica si scrive :

(4.1)

Proiettandola sui tre assi cartesiani del sistema di riferimento si ha :

(4.2)

Questo è un sistema di tre equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Il suo integrale generale contiene pertanto sei costanti arbitrarie che possono venir determinate assegnando la posizione della particella e la sua velocità all'istante iniziale.

Si può dimostrare che il sistema (4.2) ammette sempre una sola soluzione una volta fissate la posizione iniziale della particella e la sua velocità :

La conoscenza delle forze agenti su una particella libera, unitamente a quella della sua posizione e velocità iniziale, è quindi sufficiente ad individuare completamente il suo moto.

L'integrazione del sistema (4.2) è facilitata dalla conoscenza di relazioni del tipo :

(4.3)

che siano conseguenza diretta delle equazioni del sistema stesso. Queste relazioni, che contengono derivate del primo ordine, sono dette integrali primi del sistema e possono sostituire una o anche tutte le equazioni del sistema stesso purché indipendenti tra di loro.

Come esempio di utilizzo degli integrali primi, si consideri il caso di una particella libera soggetta ad un campo di forze di tipo centrale.

Poiché forza ed accelerazione hanno la stessa direzione, in questo caso si avrà :

(4.4)

cioè la quantità di moto angolare della particella è costante.

Poiché sia che giacciono ad ogni istante nel piano di moto, se ne deduce che la giacitura di tale piano è costante nel tempo e pertanto il moto avviene in un piano. Posizione e velocità iniziale della particella individuano la giacitura del piano di moto.

Introducendo un sistema di coordinate polari, si ottiene così l'integrale primo :

(4.5)

dove è un versore normale al piano di moto.

Un secondo integrale primo deriva dal teorema di conservazione dell'energia in quanto un campo di forze centrali è sempre conservativo :

(4.6)

Le due equazioni del primo ordine (4.5) e (4.6) individuano completamente il moto della particella. Inoltre, ricavando dalla prima e sostituendo il valore trovato nella seconda, si può esprimere la soluzione sotto forma dei due seguenti integrali :

(4.7)

(4.8)

La scelta del doppio segno che compare nella (4.7) viene effettuata inizialmente sulla base del valore della velocità radiale iniziale. Se questa velocità diventa nulla ad un certo istante, il segno viene cambiato fino al raggiungimento di un altro eventuale punto di annullamento.

La (4.5) può essere interpretata geometricamente : il primo membro costituisce il doppio del valore della velocità areolare. Nel moto centrale si ha pertanto un valore costante di tale velocità.

Esempio 1 : particella libera in un campo di forze elastiche

Esempio 2 : particella libera soggetta a forza elastica attrattiva e forza viscosa

Esempio 3 : particella libera soggetta a forza elastica attrattiva e forza dipendente dal tempo

Esempio 4 : particella carica libera in un campo magnetico

Esempio 5 : particella carica libera in un campo elettromagnetico

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