Particella libera soggetta a forza elastica
Si consideri il moto di una particella libera sottoposta ad una forza centrale di tipo elastico, cioè proporzionale alla distanza dall'origine del sistema di riferimento :
(1)
Se k>0 la forza è attrattiva, se k<0 la forza è repulsiva.
L'equazione fondamentale della dinamica si scrive :
(2) 
Primo caso : k>0
Si pone 
e la (2) si scrive :
(3) 
Come visto nel § 4.1 il moto avviene in un piano. Assunto nel piano di moto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la (3) proiettata sui due assi diviene
(4) 
L'integrale generale si scrive :
(5 ) 
e le quattro costanti A,B,a ,b si determinano con le condizioni iniziali associate al problema :
(6) 
Si ottengono così le espressioni :
(7) 
La traiettoria del moto è quindi un'ellisse con centro nell'origine del sistema di assi coordinati. Il moto è pertanto confinato : la particella si mantiene sempre ad una distanza finita dal centro del campo di forze.
Se in particolare la velocità iniziale è diretta radialmente, assunto l' asse x in questa direzione, l'integrale generale diviene :
(8) 
cioè il moto è rettilineo. In questo caso, la particella si muove come un oscillatore armonico con ampiezza A e pulsazione w .
Secondo caso : k<0
Si pone 
e la (2 ) si scrive :
(9) 
che proiettata sui due assi cartesiani nel piano di moto :
(10) 
L'integrale generale è :
(11) 
La traiettoria è in questo caso un ramo d'iperbole con centro nell'origine del sistema di riferimento. Il moto non è pertanto confinato.
Le quattro costanti d'integrazione si possono determinare ancora imponendo le condizioni iniziali associate al problema.