Si consideri il moto di una particella libera di massa m e di carica e sottoposta ad una forza elettromagnetica dovuta ad un campo elettrico e ad un campo magnetico di induzione entrambi costanti ed uniformi:

(1)

L'equazione fondamentale della dinamica si scrive :

(2)

Poiché i due campi sono costanti ed uniformi, possiamo prendere un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con l'asse x diretto come il campo magnetico e l'asse y diretto come il campo elettrico. Proiettando l'equazione (2) su questo sistema di riferimento si ottiene il sistema :

(3)

Cioè :

(4)

dove .

Se si definisce la variabile

(5)

il sistema (4) si può scrivere :

(6)

L'integrazione della prima equazione è elementare. Si ottiene l'integrale generale :

(7)

L'omogenea associata della seconda si scrive :

(8)

Integrando una volta si ottiene :

(9)

Integrando una seconda volta :

(10)

Un integrale particolare è il seguente :

(11)

La soluzione completa si scrive :

(12)

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