Particella libera soggetta a forza elastica attrattiva e forza viscosa
Si consideri il moto di una particella libera sottoposta ad una forza centrale di tipo elastico, cioè proporzionale alla distanza dall'origine del sistema di riferimento e ad una forza viscosa, cioè proporzionale alla velocità :
(1)
L'equazione fondamentale della dinamica si scrive :
(2) 
Se si assume per semplicità che la velocità iniziale sia diretta come un raggio vettore, assunta tale direzione come asse x, la precedente proiettata su tale asse si scrive :
(3) 
La (3) è un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. La sua equazione caratteristica si scrive :
(4) 
le cui radici si scrivono :
(5) 
Si possono distinguere tre casi :
Posto 
si ha la soluzione :
e l'integrale generale della (3) si scrive :
(6) 
Il moto è dunque oscillatorio con ampiezza smorzata di un fattore 
(oscillazioni smorzate). La soluzione si annulla per 
mentre massimi e minimi relativi si ottengono per t soddisfacente alla relazione 
.
In assenza di forza viscosa, la frequenza diviene uguale a quella delle oscillazioni libere e viene chiamata frequenza naturale.
Posto 
si ha la soluzione :
e l'integrale generale diviene :
(7) 
Il moto non ha carattere oscillatorio e la soluzione tende asintoticamente a zero.
Si ha la soluzione :
e l'integrale generale diviene :
(8) 
Anche in questo caso il moto non è oscillatorio e la soluzione tende asintoticamente a zero.