:Particella libera soggetta a forza elastica attrattiva e forza dipendente dal tempo
Si consideri il moto di una particella libera sottoposta ad una forza elastica attrattiva e ad una forza dipendente dal tempo diretta come :
(1) 
L'equazione fondamentale della dinamica si scrive :
(2) 
Se si assume per semplicità che la velocità iniziale sia diretta come un raggio vettore e che anche la forza f(t) abbia la stessa direzione, assunta tale direzione come asse x, la precedente proiettata su tale asse si scrive :
(3) 
Se si introduce l'ulteriore ipotesi che la forza imposta abbia una dipendenza dal tempo di questo tipo :
(4) 
la (3) si scrive :
(5) 
La (5) è un'equazione differenziale non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. L'equazione caratteristica dell'omogenea associata si scrive :
(6) 
le cui radici si scrivono :
(7) 
L'integrale generale della omogenea associata si scrive :
(8) 
Un integrale particolare può essere della forma :
(9) 
dove c è una costante da determinare. Sostituendo la (9) nella (5) si ottiene :
(10) 
L'integrale generale della (5) si scrive pertanto :
(11) 
dove A e B possono determinarsi con le condizioni iniziali.
La soluzione ottenuta rappresenta un moto oscillatorio con frequenza costante 
ma con ampiezza crescente nel tempo.
