Una linea nello spazio è definita dalla funzione , dove t è un parametro qualunque (non necessariamente il tempo). Se nell'intervallo t₁<t<t₂ si ha che per t₁<t'<t"<t₂ allora la linea si dice semplice; se la linea si dice chiusa.

Consideriamo due punti infinitamente vicini ed . La corda che li unisce è il vettore - . Al tendere a zero di dt, questo vettore tende a e la corda alla tangente alla linea nel punto considerato. Si può definire allora un versore tangente alla linea come :

(5.1)

La distanza tra due punti infinitamente vicini sarà :

(5.2)

e quindi la lunghezza dell'arco di linea preso a partire da un generico punto individuato dal parametro t₁ :

(5.3)

La lunghezza dell'arco s può venir assunto come il parametro naturale della linea invece di t. In questo caso

(5.3)

Siano , ed tre punti infinitamente vicini. Questi tre punti individuano un piano che conterrà anche i vettori :

(5.4)

Al tendere di ds a zero, il piano raggiunge una posizione limite individuata dai vettori derivata prima e seconda del vettore posizione. Questo piano limite è detto piano osculatore.

Derivando la relazione :

(5.5)

si ottiene :

(5.6)

cioè e che giacciono nel piano osculatore, sono ortogonali. Se si definisce

(5.7)

si può definire il versore normale :

(5.8)

che individua la normale principale alla linea.

Per vedere il significato geometrico di R, si osservi che il coseno dell'angolo formato dalle tangenti relative a due punti infinitamente vicini è :

(5.9)

Sviluppando in serie si ottiene :

(5.10)

R rappresenta il reciproco della derivata dell'angolo formato dalla tangente con l'arco ed è quindi il raggio di curvatura.

Una seconda normale alla linea può essere definita in modo tale da formare una terna destrorsa con ed :

(5.11)

Questo nuovo versore si chiama binormale.

La terna costituita dai tre versori , e è detta terna intrinseca della linea considerata.

Come calcolo d'esempio, si consideri la linea di equazione :

(5.12)

Il versore tangente risulta :

(5.13)

Quello normale :

(5.14)

E quello binormale :

(5.14)

L'equazione di moto in forma vettoriale per una particella vincolata ad una linea inerziale e liscia si scrive :

(5.15)

dove è il risultante delle forze attive agenti sulla particella e quello delle forze reattive che, per l'ipotesi di vincolo liscio, sono normali al vincolo stesso.

Se la (5.15) si proietta sulla terna intrinseca della linea, si ottiene :

(5.16)

poiché

(5.17)

e derivando rispetto al tempo

(5.18)

Come si vede dalle (5.16), per il calcolo del movimento è sufficiente risolvere la prima equazione che non contiene la reazione vincolare e che fornisce la legge oraria s(t) con cui la particella percorre la linea. Le altre due equazioni permettono di calcolare il modulo e la direzione della reazione vincolare in ogni punto della linea.

Esempio 1 : pendolo semplice

Esempio 2 : particella su un vincolo reonomo

Esempio 3 : calcolo della reazione vincolare

Esempio 4 : particella in una buca di potenziale

Poiché i gradi di libertà sono due, la posizione della particella sulla superficie può sempre essere individuata per mezzo di due coordinate lagrangiane q₁, q₂

(5.19)

Si osservi che i due vettori e individuano in ogni punto il piano tangente alla superficie. Della reazione vincolare, sappiamo che è diretta ortogonalmente alla superficie perché il vincolo è liscio. Moltiplicando scalarmente l'equazione fondamentale della dinamica (5.15) per e si ottiene quindi :

(5.20)

dove :

(5.21)

Le due equazioni (5.20) non contengono la reazione vincolare e consentono di determinare le funzioni incognite q₁(t) e q₂(t) che individuano ad ogni istante la posizione della particella sulla superficie.

Esempio 5 : particella su superficie cilindrica

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