Si consideri un cilindro circolare retto di raggio R ed asse verticale. Su tale cilindro, supposto inerziale, è vincolata a muoversi senza attrito una particella di massa m. Si determini il moto di tale particella.

Assunto un sistema di riferimento cilindrico con l’asse z diretto ed orientato come l’accelerazione di gravità, la posizione della particella è individuata dalla sua quota z e dalla anomalia .

I vettori posizione, velocità ed accelerazione si scrivono :

(1)

(2)

(3)

La forza attiva si scrive :

(4)

I due vettori tangenti alla superficie si scrivono :

(5)

(5)

Le (5.41) diventano :

(6)

il cui integrale generale si scrive :

(7)

Se la velocità è inizialmente nulla, allora si vede che la traiettoria della particella è una linea verticale. Se non è inizialmente nulla, allora la traiettoria è un'elica cilindrica a passo variabile.

Poiché la forza peso è conservativa e la reazione vincolare non compie lavoro in quanto normale al vincolo inerziale, si può anche utilizzare l'integrale primo dell'energia. L'energia cinetica si scrive :

(8)

L'energia potenziale, se si assume come livello zero quello corrispondente alla quota z₀ :

(9)

L’energia totale si scrive :

(10)

Se si scrive l’espressione della quantità di moto angolare :

(11)

ed il momento della forza peso e della reazione vincolare :

(12)

(13)

si vede che la quantità di moto angolare si conserva nella direzione z e questo fornisce il secondo integrale primo :

(13)

Il sistema della (10) e (13) fornisce le seguenti equazioni di moto :

(14)

il cui integrale generale è dato dalle (7).

Torna al Capitolo 5