§ 6. - LEGGI DI CONSERVAZIONE PER UN SISTEMA DI PARTICELLE
Nello scrivere l'equazione fondamentale della dinamica per la particella i-sima del sistema, è opportuno suddividere le forze agenti in esterne ed interne. Per forze esterne s'intendono quelle che traducono l'azione di elementi esterni al sistema sulla particella considerata. Mentre le forze interne sono quelle che traducono l'azione delle altre particelle appartenenti al sistema.(Si noti, che a loro volta sia le forze esterne che quelle interne possono essere sia attive che reattive.)
Si può così scrivere :
(6.1)
Sommando su tutti gli i :
(6.2) 
poichè la somma delle forze interne è nulla per il principio di azione e reazione.
Se si definisce la quantità di moto del sistema :
(6.3) 
allora la (6.2) si scrive :
(6.4) 
Questa relazione può essere formulata come legge di conservazione :
condizione necessaria e sufficiente affinchè la quantità di moto di un sistema di particelle si conservi è che il risultante delle forze esterne (attive+reattive) sia nullo.
Se si definisce il vettore posizione del centro di massa del sistema :
(6.5) 
allora la precedente si scrive anche :
(6.6) 
cioè il centro di massa si muove come se il risultante delle forze esterne fosse applicato all'intera massa del sistema concetrata nel centro di massa stesso. Le forze interne non hanno quindi alcuna influenza sul moto del centro di massa.
Se il risultante delle forze esterne è nullo, il centro di massa si muove di moto inerziale.
Se si moltiplicano scalarmente ambo i membri della (6.1) per 
e si somma su tutti gli i :
(6.7) 
L'ultimo termine al secondo membro si può considerare come somma di coppie di termini del tipo :
Per il principio di azione e reazione ciascuno di questi termini è nullo e pertanto anche la loro somma è nulla:
Se si definisce come quantità di moto angolare del sistema :
(6.8) 
allora la (6.7) si scrive :
(6.9) 
Anche questa relazione può essere formulata come legge di conservazione :
condizione necessaria e sufficiente affinchè la quantità di moto angolare di un sistema di particelle si conservi è che il momento risultante delle forze esterne (attive+reattive) sia nullo.
La (6.8) può venir scritta in forma diversa se si introduce il vettore posizione del centro di massa. Il vettore posizione della particella i-esima si scrive :
(6.10) 
ed analogamente il vettore velocità :
(6.11) 
Sostituendo nella (6.8) si ottiene :
(6.12) 
La quantità di moto angolare di un sistema è rappresentabile come la somma di due termini : il primo è la quantità di moto angolare del centro di massa in cui s'immagina concentrata tutta la massa del sistema ed il secondo è quella del moto rispetto ad un sistema avente origine nel centro di massa e che trasla con la sua velocità.
Il lavoro compiuto dalle forze applicate al sistema per uno spostamento da una configurazione 1 ad una configurazione 2 lungo un insieme di traiettorie l si scrive :
(6.13) 
Dalla (6.1) si ha anche :
(6.14) 
Se si definisce l'energia cinetica del sistema :
(6.15) 
allora si può scrivere :
(6.16) 
Se le forze esterne e quelle interne sono conservative, si può scrivere :
(6.17) 
e la (6.16) diviene :
(6.18) 
Si può così enunciare la seguente legge di conservazione :
condizione necessaria e sufficiente affinchè l'energia totale di un sistema di particelle si conservi è che entrambe le forze esterne (attive+reattive) ed interne (attive+reattive) siano conservative.
Anche l'energia cinetica del sistema può essere scritta in forma diversa introducendo il vettore velocità del centro di massa :
(6.19) 
L'energia cinetica del sistema è anch'essa rappresentabile come somma di due termini : il primo è l'energia cinetica del sistema se tutti i punti si muovono con la velocità del centro di massa ed il secondo è l'energia cinetica del sistema riferita ad un sistema di riferimento che trasla con la velocità del centro di massa (Teorema di Koenig).
Esempio 1 : particelle su vincolo scleronomo
Esempio 2 : particelle su vincolo reonomo