In un piano verticale, si consideri un sistema costituito da una particella A di massa m₁ che si muove senza attrito su un asse orizzontale e da una seconda particella B di massa m₂ che è vincolata a muoversi nello stesso piano a distanza l dalla prima. Si calcoli il movimento.

Le forze agenti sul sistema sono :

• la forza peso applicata su A e B, esterna, diretta ortogonalmente all'asse
• la reazione vincolare f _A esercitata dall'asse su A, esterna, diretta ortogonalmente all'asse stesso
• la reazione vincolare f _BA esercitata da B su A, interna, diretta come la congiungente AB
• la reazione vincolare f _AB esercitata da A su B, interna, diretta come la congiungente AB

I vincoli esistenti sono di tipo olonomo e scleronomo. I gradi di libertà sono due. Le coordinate lagrangiane che individuano la configurazione del sistema sono la coordinata x di A e l'angolo q formato da AB con la direzione ortogonale all'asse.

Poichè le forze esterne non hanno componenti rispetto all'asse, si conserverà la componenete della quantità di moto del sistema in quella direzione. Si ha pertanto il seguente integrale primo :

(1)

Per calcolare il lavoro delle reazioni vincolari, si considerino due variazioni indipendenti delle coordinate lagarangiane. Mantenendo costante x si ha :

(2)

Mantenendo costante q si ha :

(3)

poichè f _A e sono ortogonali e per il principio di azione e reazione f _AB e f _BA sono opposte.

Poichè la forza peso è conservativa ed il lavoro delle reazioni vincolari è nullo, allora l'energia totale del sistema si conserva e si ha il secondo integrale primo :

(4)

Dalla (1), nell’ipotesi che il sistema sia inizialmente in quiete, si ha :

(5)

Sostituendo nella (4) si ottiene :

(6)

che è un'equazione differenziale del primo ordine in q . Trovato l'integrale generale di quest'equazione, lo si sostituisce nella (5) ottenendo un'equazione differenziale del primo ordine per x il cui integrale fornisce la seconda parte della soluzione.

Sfortunatamente queste due equazioni non sono integrabili analiticamente e possono soltanto essere integrate numericamente. Se si assumono i seguenti valori per le due masse, la distanza l ed i valori iniziali di x e q :

• m₁ = 1
• m₂ = 1
• l = 1
• x = 0
• q = 60°

la soluzione è mostrata nella figura seguente in cui sono riportati gli andamenti di x e q in funzione del tempo.

Come si vede entrambe le variabili mostrano un andamento periodico con uguale frequenza.

Poichè la posizione q =0 è di equilibrio stabile, si può determinare la frequanza delle piccole oscilllazioni attorno alla posizione di equilibrio. Sviluppando in serie la (6) si ottiene :

(7)

Derivando rispetto al tempo e dividendo per supposta diverso da zero, si ottiene :

(8)

che rappresenta un moto armonico con pulsazione :

(9)

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