In un piano orizzontale, si consideri una retta che ruota uniformemente con velocità angolare w attorno ad un asse verticale passante per il punto O di tale retta ed in quiete rispetto ad un sistema inerziale. Determinare il moto di due particelle A e B di ugual massa m e vincolate a muoversi senza attrito su tale retta e tra cui agisce una forza elastica di costante k>0.

Le forze che agiscono sul sistema sono :

• le reazioni vincolari f _A e f _B che agiscono su A e B, esterne, dirette ortogonalmente alla retta perchè il vincolo è liscio
• la forza elastica tra le particelle, interna, diretta lungo la retta
• la forza peso applicata ad A e B, esterna, diretta ortogonalmente al piano di moto e che pertanto compie lavoro nullo.

Il vincolo è olonomo e reonomo. I gradi di libertà sono due e si possono assumere come coordinate lagrangiane del sistema le due coordinate radiali x₁ ed x₂ delle particelle (la coordinata azimutale è nota in quanto si conosce la velocità angolare della retta).

Proiettando le equazioni fondamentali della dinamica per le due particelle lungo la direzione radiale si ha :

(1)

da cui sommando e sottraendo membro a membro :

(2)

Se si pone

(3)

le (2) divengono :

(4)

L'integrale generale della prima si scrive :

(5)

Per l'integrale generale della seconda, si devono distinguere i tre casi :

primo caso :

si ottiene :

(6)

secondo caso :

si ottiene :

(7)

terzo caso :

si ottiene :

(8)

Poichè x_c rappresenta il doppio della coordinata radiale del baricentro del sistema, la (8) afferma che, asintoticamente, il baricentro del sistema si allontana indefinitamente dal punto O.

La coordinata d rappresenta invece la differenza tra le coordinate radiali delle due particelle. Nei primo e terzo caso, in cui l’effetto della rotazione della retta è prevalente rispetto all'intensità della forza elastica, anche questa grandezza tende asintoticamente a diventare infinita. Nel secondo caso invece le particelle si mantengono ad una distanza finita.

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