§ 7. - PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Come visto nel § 2., per un sistema di particelle, oltre allo spostamento reale è possibile definire uno spostamento virtuale. Se indichiamo con il risultante delle forze attive che agiscono sulla particella i-sima e con quello delle rezioni vincolari, si definisce come lavoro virtuale delle forze agenti sul sistema, l'espressione :

(7.1)

Se si considera un sistema sottoposto a vincoli lisci o più semplicemente a vincoli a lavoro virtuale nullo, la (7.1) si può scrivere :

(7.2)

Consideriamo ora alcuni casi di sistemi in condizioni di equilibrio e calcoliamo il lavoro virtuale delle sole forze attive.

la condizione di equilibrio è =0 e pertanto

la condizione di equilibrio è . Il lavoro virtuale delle forze attive è poichè in quanto lo spostamento virtuale è tangente alla linea.

la condizione di equilibrio è . Il lavoro virtuale delle forze attive è poichè in quanto lo spostamento virtuale avviene sul piano tangente alla superficie.

l'unica posizione di equilibrio stabile è l'intersezione inferiore della circonferenza con un diametro verticale. L'unica forza attiva è la forza peso che è diretta come la verticale discendente.Per qualunque spostamento virtuale si ha .

Si è così visto che nel caso di sistemi in equilibrio, il lavoro virtuale delle forze attive non è mai positivo. In particolare, nei primi tre casi in cui gli spostamenti virtuali sono anche bilateri, tale lavoro è nullo.

Consideriamo ora gli stessi sistemi e imponiamo che il lavoro virtuale delle forze attive sia nullo.

Se deve essere nullo, poichè si può sempre prendere uno spostamento parallelo ad , ne segue che deve essere =0.

Se deve essere nullo, poichè si puo sempre prendere uno spostamento parallelo a , allora deve essere .

Se deve essere nullo, poichè e appartengono al piano tangente alla superficie, possono essere sempre presi paralleli a ed e pertanto dovrà essere ==0.

Se deve essere sempre minore di zero, l'unico punto in cui questo si verifica è il punto d'intersezione inferiore della circonferenza con un diametro verticale. In tutti gli altri punti è infatti sempre possibile effettuare uno spostemento per cui tale lavoro è positivo.

Imponenendo che il lavoro virtuale delle forze attive non sia mai positivo, o addirittura nullo quando gli spostamenti sono bilateri, si sono ritrovate così le condizioni di equilibrio. Si può allora eneunciare per induzione il seguente principio dei lavori virtuali :

condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un sistema di particelle soggetto a vincoli lisci, è che il lavoro delle forze attive per ogni spostamento virtuale non sia mai positivo. In particolare, per spostamenti bilateri tale lavoro deve essere nullo.

Le condizioni di equilibrio di un tale sistema si possono così sintetizzare :

(7.2)

Si supponga che il sistema sia soggetto a vincoli olonomi e bilateri. Se i gradi di libertà sono n, allora il vettore posizione di ogni particella è sempre esprimibile in funzione di n coordinate lagrangiane :

(7.3)

Lo spostamento virtuale associato :

(7.4)

Se è il risultante delle forze attive agenti sulla particella i-sima, il lavoro virtuale delle forze attive si scrive :

(7.5)

Se si definisce come componente delle forze attive secondo la coordinata qj l'espressione :

(7.6)

la (7.5) si può scrivere :

(7.7)

Poichè le coordinate qj sono indipendenti, la (7.7) sarà verificata se :

(7.8)

cioè per l'equilibrio di un sistema olonomo è quindi necessario e sufficiente che siano singolarmente nulle le componenenti delle forze attive rispetto alle coordinate lagrangione scelte.

Se il sistema delle forze attive è conservativo, allora indicata con V l'energia potenziale, si ha :

(7.9)

ed il loro lavoro virtuale sarà :

(7.10)

La condizione di equilibrio del sistema è pertanto la condizione di estremo dell'energia potenziale.

Esempio 1 : equilibrio di un pendolo semplice


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