L'equazione fondamentale della dinamica per la i-sima particella di un sistema soggetto a vincoli lisci e bilateri, può essere scritta nel seguente modo :

(8.1)

e può essere interpretata come una condizione di equilibrio della particella i-sima quando insieme alla forza agisce la forza .

Il principio dei lavori virtuali per questo sistema si può allora scrivere :

(8.2)

dove l'apice a ci ricorda che devono essere prese in considerazione solo le forze attive

La (8.2) traduce il principio di D'Alembert. Questo principio, che è applicabile nello studio della dinamica dei sistemi di particelle, ha il vantaggio di far intervenire, come il principio dei lavori virtuali, solo le forze attive.

Si può osservare, che non è necessario che i vincoli a cui è soggetto il sistema siano lisci. Perché la (8.2) sia valida è sufficiente che il lavoro virtuale delle forze reattive sia nullo.

Esempio 1 : particella su circonferenza verticale

Se il sistema è soggetto a vincoli olonomi con n gradi di libertà, allora i vettori posizione delle particelle si possono scrivere come funzioni di n coordinate lagrangiane q_j e del tempo t :

(8.3)

Gli spostamenti virtuali divengono :

(8.4)

Il primo termine della (8.2) si può scrivere :

(8.5)

Il secondo termine :

(8.6)

Se si tiene conto che :

(8.7)

e quindi :

(8.8)

ed inoltre :

(8.9)

allora la (8.6) si può scrivere :

(8.10)

Il principio di D'Alembert diviene così :

(8.11)

Poiché le sono indipendenti, la precedente equivale al sistema di equazioni :

(8.12)

Se le forze attive agenti sono conservative, allora :

(8.13)

Se l'energia potenziale dipende solo dalle coordinate di posizione (potenziali ordinari), allora le (8.12) si possono scrivere :

(8.14)

Introducendo la funzione di Lagrange del sistema :

(8.15)

le (8.14) divengono :

(8.16)

e prendono il nome di equazioni di Lagrange.

Si osservi che le equazioni di Lagrange sono state scritte introducendo le seguenti ipotesi :

• il sistema è sottoposto a vincoli olonomi bilateri
• le reazioni vincolari sono a lavoro virtuale nullo
• le forze attive sono conservative
• l'energia potenziale delle forze attive dipende solo dalle coordinate di posizione

Quest'ultima ipotesi può essere estesa per comprendere anche forze derivabili da potenziali che dipendono anche dalle velocità purché soddisfino alla relazione :

(8.17)

La funzione prende nome di energia potenziale generalizzata e la Lagrangiana del sistema si scrive :

(8.18)

Le proprietà delle equazioni di Lagrange si possono elencare come :

• nelle equazioni non compaiono le reazioni vincolari che sono a priori incognite
• le equazioni non contengono quantità vettoriali ma solo le due grandezze scalari T e V
• le equazioni si possono applicare sia a vincoli reonomi sia a vincoli scleronomi
• le equazioni sono linearmente indipendenti e sono tante quante i gradi di libertà del sistema
• le equazioni sono invarianti rispetto alla scelta delle coordinate lagrangiane

Per verificare quest'ultima proprietà, si consideri la trasformazione di coordinate :

(8.19)

soddisfacente alla condizione di invertibilità :

(8.20)

La Lagrangiana nel vecchio sistema di coordinate sarà :

(8.21)

Le derivate rispetto a coordinate e velocità generalizzate :

(8.22)

(8.23)

Le equazioni di Lagrange si scrivono :

(8.24)

e quindi per la (8.20) dovrà essere :

(8.25)

Nel caso in cui le forze attive agenti siano in parte conservative ed in parte non conservative, le equazioni di Lagrange si possono scrivere nella forma :

(8.26)

dove nella Lagrangiana compare l'energia potenziale delle forze conservative, mentre al secondo membro compaiono le componenti delle forze attive non conservative rispetto alle coordinate lagrangiane scelte.

Esempio 2 : particella su vincolo reonomo

Esempio 3 : particella su superficie cilindrica

Esempio 4 : particelle su vincolo scleronomo

Esempio 5 : potenziale di un campo elettromagnetico

Esempio 6 : particella in un campo magnetico

Esempio 7 : particella in un campo elettromagnetico

Esempio 8 : equazione di un circuito elettrico

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