Si consideri la Lagrangiana :

(1)

con le condizioni iniziali .

Nell'intervallo di tempo 0<t<1 un esempio di traiettorie variate sincrone sono le seguenti :

(2)

Passano infatti tutte nei punti q₁=0 e q₂=-k/2m negli istanti t₁=0 e t₂=1.

L'integrale di linea della Lagrangiana nei tre casi risulta :

(3)

Il valore più basso in questo caso si ha in corrispondenza della prima traiettoria che è anche la soluzione dell'equazione di Lagrange che si ottiene dalla (1).

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