L’equivalenza tra il principio di Hamilton e le equazioni di Lagrange può essere utilizzata per determinare le linee geodetiche su una sfera, cioè le linee soddisfacenti alla seguente condizione :

(1)

Utilizzando le coordinate sferiche, questa relazione si può scrivere :

(2)

Si può osservare che la funzione integranda

(3)

non dipende da j e quindi esiste l’integrale primo :

(4)

Separando le variabili, si ottiene :

(5)

il cui integrale generale è :

(6)

cioè :

(7)

Moltiplicando ambo i termini per Rsinq si ottiene :

(8)

Introducendo le coordinate cartesiane :

(9)

Questa è l’equazione di piano passante per il centro della sfera. Pertanto la geodetica è il segmento di cerchio massimo passante per i due punti fissati.

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